¿Qué es el álgebra?

Toda discusión sobre la didáctica del álgebra pasa por definir qué es el álgebra. Responder esta pregunta es tan importante como responder la pregunta relacionada con lo fines de la enseñanza del álgeba para todos los ciudadanos en la escuela. Como motivación les presento a continuación algunas definiciones de álgebra elaboradas por matemáticos.

Las respuestas a la pregunta: ¿qué es el álgebra?, las podemos clasificar en dos grupos. En el primer grupo incluimos respuestas dadas por matemáticos. En el segundo grupo incluimos respuestas a esta pregunta ofrecidas por educadores matemáticos o especialistas en didáctica de las matemáticas. Entre los primeros podemos mencionar a Vieta (o Viete), Newton, de Morgan, el grupo Bourbaki, y Mac Lane y Birkhoff. Como señalé arriba, por ahora presentaré definiciones elaboradas por matemáticos.

Según Vieta (1591), considerado por muchos historiadores de las matemáticas como el fundador del álgebra,

El álgebra fue descubierta por los antiguos a partir de la Aritmética, y es la más noble, y de ninguna manera celebrada suficientemente técnica de los números. Como dice Cardano, como el Álgebra sobrepasa toda la sutileza humana y la claridad de cada alma mortal, ésta tiene que ser considerada como un verdadero regalo celestial, el cual da tal experiencia iluminadora del verdadero poder del intelecto que quienquiera que lo domine creerá que no hay nada que no pueda comprender. (...)

Hay una cierta manera de buscar la verdad en matemáticas del cual se dice que Plato fue el primero en descubrirlo. Theon lo llamó análisis, el cual el define como asumir que aquello que es buscado como si fuera admitido [y trabajar] a través de las consecuencias [asumidas] hasta lo que es [ya] admitido [y trabajar] a través de las consecuencias [asumidas] hasta llegar a y comprender aquello que se busca.

Aunque los antiguos proponían sólo [dos tipos] de análisis, zetetics y poristics, a los cuales mejor se aplica la definición de Theon, Yo he agregado un tercero, que podría llamarse rhetics o exegetics. Es propiamente zetetics por la cual uno establece una ecuación y proporción entre un término que debemos hallar y los términos dados, poristics por la cual la verdad de un teorema propuesto es evaluada por medio de una ecuación o proporción, y exegetics por la cual el valor de un término desconocido en una ecuación o proporción es determinado. Por tanto, todo el arte analítico, asumiendo estas tres funciones por si mismo, podría denominarse la ciencia del descubrimiento correcto en matemáticas.

Esta (Zetetics) no limita su razonamiento a números, una limitación del viejo analista, sino que trabaja con la recientemente descubierta logística simbólica la cual es más fructífera y poderosa que la logística numérica para comparar las magnitudes unas con otras.

La logística numérica es [una logística] que emplea números, la logística simbólica una que emplea símbolos o signos para cosas como, digamos, letras del alfabeto.

En análisis la palabra “ecuación”, por si misma, significa un igualdad construida propiamente de acuerdo con [las reglas] de la zetetics.

Así una ecuación es una comparación de una magnitud desconocida y una magnitud conocida.

Finalmente, el arte analítico, dotado de estas tres formas de zetetics, porsitics y exegetics, reclama para si mismo el más grande de todos los problemas, el cual es Resolver todo problema. [Traducción Julio Mosquera]

Para Newton (1628),

El cálculo es ejecutado con Números, como en la Aritmética Vulgar, o con Especies, como es usual entre los Algebristas. Ambos están construidos sobre los mismos Fundamentos, y buscan el mismo Objetivo, viz. la Aritmética definitiva y particularmente, el Álgebra indefinida y universalmente; de manera tal que todas las Expresiones que son halladas mediante estos Cálculos, y particularmente Conclusiones, pueden ser llamadas Teoremas. Pero el Álgebra es particularmente excelente en esto, mientras que las Preguntas Aritméticas son resueltas solamente procediendo desde las Cantidades dadas a las Cantidades buscadas, el Álgebra procede en Orden retrogrado, de las Cantidades buscadas, como si estuvieran dadas, a la Cantidades dadas, como si fueran buscadas, al final se llega a una Conclusión o Ecuación de una u otra manera, a partir de la cual podremos obtener la Cantidad buscada. [Traducción de Julio Mosquera]

Augusto de Morgan (1828) comenta que el álgebra

... es la parte de las matemáticas en la cual símbolos son empleados para abreviar y generalizar el razonamiento que surge en cuestiones relacionadas con los números.

Hay dos especies de preguntas, teoremas y problemas. Un teorema demuestra la existencia de ciertas propiedades de números dados y conocidos. Un problema tiene por su objeto determinar que números tienen relaciones dadas con otros números conocidos. [Traducción de Julio Mosquera]

Para Nicolas Bourbaki (1943), seudónimo usado por un colectivo de matemáticos franceses que sentaron las bases de la matemática moderna,

El álgebra se ocupa esencialmente del cálculo, esto es, ejecutar, sobre elementos de un conjunto, “operaciones algebraicas”, el ejemplo más conocido es proporcionado por las “cuatro reglas” de la aritmética elemental. El álgebra ... por largo tiempo ha sido considerada como el estudio de las operaciones algebraicas, independiente de las entidades matemáticas a las que ellas puedan aplicarse.

Privadas de cualquier carácter específico, la noción común subyacente a las operaciones algebraicas usuales es muy simple: realizar una operación algebraica en dos elementos a, b del mismo conjunto E, significa asociar al par ordenado (a, b)un tercer elemento c bien definido del conjunto E. En otras palabras, no hay más nada en esta noción que una función: tener una operación algebraica es tener un función definida sobre ExE y toma sus valores en E ...

En conformidad con las definiciones generales, tener sobre un conjunto E una o varias leyes de composición o leyes de acción definen una estructura sobre E; para las estructuras definidas de esta manera preservamos precisamente el nombre de estructuras algebraicas y es el estudio de éstas lo que constituye el álgebra. [Traducción de Julio Mosquera]

Un libro clásico de álgebra es el de Saunders Mac Lane y Garret Birkhoff (1967). Para estos matemáticos,

El álgebra comienza como el arte de manipular cantidades, productos y el poder de los números. Las reglas para esta manipulación sostenida por todos los números, de modo que la manipulación puede ser llevada a cabo con letras en representación de los números. Entonces parece que las mismas reglas contenidas para varios tipos de números diferentes … y que las reglas incluso se aplican a las cosas ... las cuales no son para nada números. Un sistema algebraico, como el que estudiaremos, es un conjunto de elementos de cualquier clase en los cuales las funciones tales como la suma y la multiplicación operan, siempre que dichas operaciones satisfagan ciertas reglas básicas. (p. 1).