Pareciera que el libro Psicogénesis e Historia de la Ciencia de Jean Piaget y Rolando García ha sido poco estimado por la comunidad de educadores matemáticos. En particular me interesa llamar la atención sobre los dos capítulos del mencionado libro dedicados al álgebra y a la formación de los sistemas prealgebraicos. Estos autores distinguen tres períodos o etapas en la evolución de las estructuras algebraicas así como la evolución de las "relaciones lógicoaritméticas en el niño" (p. 134). Estas etapas son: intra-operacional, inter-operacional y trans-operacional. Veamos como describen Piaget y García estas estapas:
"(...) La etapa intra-operacional está caracterizada por relaciones intra-operacionales que se presentan bajo formas aislables sin transformaciones de una a otra que impliquen la existencia de invariantes y sin composición entre ellas que conduzcan a definir estructuras.
La etapa inter-operacional está caracterizada por correspondencia y transformaciones entre las formas aislables de la etapa anterior, con los invariantes que tales transformaciones exigen.
La etapa trans-operacional está caracterizada por la construcción de estructuras cuyas relaciones internas corresponden a las transformaciones inter-operacionales." (p. 134)
Señalan estos autores que las etapas precedentes (intra, inter y trans), se corresponden con las tres etapas generales distinguidas en el desarrollo de las operaciones en el niños. Como es conocido estas etapas son, primero la llamada "preoperatoria" en la cual se constituyen lentamente acciones repetibles, mediante las cuales se modifican los objetos, "pero que no se transforman ni se coordinan entre ellas" (p. 163). Segundo, encontramos las "operaciones concretas" donde si se realizan transformaciones de las operaciones mismas. Por último, encontramos la etapa caracterizada por la "operaciones hipotético-deductivas", "con síntesis de las transformaciones que pueden en ciertos casos tomar la forma de 'grupos'." (p. 163)
Con estas breves líneas sólo pretendo llamar la atención de los colegas sobre este interesante libro de Piaget y Garcia. En él encontramos un material muy interesante sobre la historia del álgebra y el desarrollo del pensmiento algebraico en los niños. Sería interesante discutir sus posibles implicaciones para ua didáctica del álgebra desde una perspectiva diferente a la predominante hasta ahora en la literatura sobre este tema.
lunes, 22 de octubre de 2007
viernes, 14 de septiembre de 2007
Investigación sobre aprendizaje y enseñanza de la trigonometría
En Venezuela no tenemos actualmente un curso separado de trigonometría en la Educación Secundaria, tuvimos uno antes de la reforma curricular de los años de 1950. Dada esa realidad de nuestra educación, incluimos el estudio de la enseñanza, aprendizaje y evaluación de temas de trigonometría en la didáctica del álgebra. A continuación presento un recuento de algunas investigaciones cuyo centro de interés es el aprendizaje o la enseñanza de tópicos de trigonometría.
Se han realizado muy pocas investigaciones sobre el aprendizaje y la enseñanza de la Trigonometría en la escuela. Una evidencia de esta escasez es que la Trigonometría no aparece mencionada en el Handbook of Research on the Teaching and Learning of Mathematics editado por Grouws (1992, citado en de Kee, Moura y Dionne, s.f.). En esta sección haremos referencia a algunos de los pocos trabajos que pudimos localizar en nuestra investigación bibliográfica sobre el tema. (de Kee y otros, s.f., Doerr, 1996, Shama, 1998, Delice y Monaghan, 2003, Orhun, 200 y Balckett y Tall, 1991). Estos trabajos pueden ser catalogados en cinco categorías: (1) estudio de la comprensión de conceptos trigonométricos (de Kee y otros, s.f. y Shama, 1998), (2) estudio de las concepciones erróneas y errores (Orhun, 2000), (3) estudio de la integración de la trigonometría con otros tópicos (Doerr, 1996), (4) estudio del efecto del uso de computadoras en el aprendizaje de la trigonometría (Blackett y Tall, 1991) y (5) estudio comparativo de la enseñanza de la trigonometría (Delice y Monaghan, 2003).
De Kee y otros (s.f) estudiaron la comprensión de las nociones de las funciones seno y coseno en estudiantes de secundaria. Estos autores aclaran que se ocupan de la comprensión en un momento determinado y no en su desarrollo. Basándose en un modelo constructivista propuesto por Herscovics y Bergeron (1982), de Kee y otros (s.f.) distinguen cinco tipos de componentes de la comprensión (1) inicial, (2) procedimental (3) abstracción, (4) formalización y (5) global.
Los autores diseñaron un conjunto de tareas las cuales le propusieron a los cinco estudiantes participantes durante una serie de entrevistas. Todos los estudiantes pertenecían a la misma sección. Tomando en cuenta el modelo de Herscovics y Bergeron (1982), de Kee y otros (s.f) elaboraron una serie de criterios para indagar acerca de la comprensión del seno y del coseno por parte de los alumnos. Por ejemplo, relacionado con el componente abstracción propusieron un texto a los alumnos sobre la invarianza de las razones trigonométricas respecto al triángulo, es decir, las razones trigonométricas no varían si las dimensiones del triángulo se reducen o se aumentan en longitud.
La comprensión de la noción de seno y coseno en los estudiantes de secundaria fue estudiada por de Kee y otros (s.f) en dos contextos clásicos. El primero de estos contextos fue el del triángulo rectángulo, mientras que el segundo fue el contexto de la circunferencia trigonométrica. En ambos contextos se indagó sobre la comprensión según los cinco componentes del modelo de Herscovics y Bergeron (1982). El seno y coseno son vistos como razones de lados de un triángulo rectángulo con hipotenusa En el primer contexto, el triángulo rectángulo, se encontró que algunos estudiantes tienen problema en comprender el seno y el coseno como razones sin unidad; no pueden calcular el seno o el coseno a partir de un ángulo, emplean correctamente la notación trigonométrica; reproducen correctamente la definición formal de seno y de coseno, y las aplican correctamente al caso de un ángulo agudo en un triángulo dado; y en un principio los alumnos sólo veían al seno y al coseno como fracciones, es decir, no se consideraban expresar las fracciones resultantes como números con decimales (por ejemplo, tomar 3 como 0,6).
En el contexto de la circunferencia trigonométrica, el seno y coseno son presentados como funciones reales de variable real. Esta manera de ver las funciones trigonométricas es estudiada en la lección 4. Al igual que en el contexto anterior, de Kee y otros (s.f) le pidieron a los estudiantes que dijeran cómo le explicarían a un compañero lo qué es una función trigonométrica. Se les propuso a los estudiantes que harían a partir de una tabla con valores del seno para ciento ochenta ángulos medidos en grados. Para algunos estudiantes cada par de valores en la tabla representaba una función, para otros de los estudiantes la tabla completa representaba una función trigonométrica. Otros alumnos hicieron referencia al triángulo y otros a las gráficas. Ninguno de los estudiantes hizo referencia a las funciones circulares. Una vez que los investigadores les mencionaron estas funciones y les pidieron que hablaran sobre ellas, sólo una alumna se dio cuenta que éstas y las funciones trigonométricas están relacionadas.
Todos los estudiantes mostraron tener dificultades en comprender que una tabla representa a una función, en general tenían problemas con el concepto de función. Los estudiantes también mostraron tener dificultades para hallar el valor del seno de un número real usando una cuerda y una circunferencia trigonométrica.
De Kee y otros (s.f.) encontraron cuatro representaciones del seno y del coseno entre los estudiantes de secundaria. La primera tiene que ver con las razones, la segunda con las coordenadas cartesianas, la tercera con los valores que se obtienen en una calculadora y, por último las curvas con aspecto ondulado. El desempeño de los estudiantes en todas las tareas fue mejor en el primer contexto que en el segundo. Los estudiantes mostraron no haber establecido relaciones entre las diferentes representaciones del seno y del coseno antes enumeradas. Si desea mejorar la comprensión es necesario promover y fortalecer las relaciones entre esas representaciones. Por último, de Kee y otros (s.f) resaltan que los estudiantes en general tenían dificultad para expresarse. Por tanto, proponen que se den más a menudo oportunidades para la discusión de temas de matemáticas en el aula.
Shama (1998) estudió la comprensión de la periodicidad con un proceso que tiene una estructura Gestalt. Este trabajo de investigaciones fue realizado con estudiantes israelíes de 3er grado hasta el grado 12. Este es un estudio que se llevó a cabo en dos fases, la primera de tipo cualitativo en la que se observaron clases y se realizaron entrevistas con los estudiantes. La segunda de tipo cuantitativo consistió de una encuesta aplicada a 895 estudiantes de grado 11.
La periodicidad aparece en la naturaleza, por todos lados. Por ejemplo, la fases de la luna y las estaciones. También encontramos patrones periódicos en algunas manifestaciones culturales. La periodicidad es un concepto científico. Las funciones periódicas son usadas para modelar un sin número de fenómenos en biología, química,, física y en la tecnología. Este concepto cobra aún más relevancia si lo vemos como necesario para comprender la conducta de sistemas caóticos y sistemas no lineales. Los patrones periódicos juegan un papel de relevancia en las matemáticas. Podemos concluir que es un concepto muy general y de mucha relevancia (Shama, 1998, p.255).
Señala Shama (1999) que a pesar de la relevancia de este tema, hasta ese momento no se había investigado sobre la comprensión de la periodicidad. Shama decidió entonces centrar su investigación en este concepto. Para ello adoptó como marco conceptual las ideas de concepto imagen y concepto definición propuesta por Vinner (1991, citado por Shama, 1998, p 256).
Shama (1998) organiza la presentación de los resultados de su investigación en tres grandes categorías. Estas categorías son la comprensión de la periodicidad como un proceso, la identificación del período. Tanto los resultados de la entrevista como los de la encuesta llevan a la conclusión que la mayoría de los estudiantes concibe la periodicidad como un proceso. Este puede decir que el concepto imagen de la periodicidad se basa en ejemplos dinámicos. Esto se debe tanto a la enseñanza como a la experiencia diaria.
En las entrevistas se encontró con frecuencia el error de considerar fenómenos no-periódicos como si fueran periódicos. Tomando en consideración los resultados de la entrevista se diseñaron diferentes tipos de preguntas para evaluar aún más esa relación. Muchos de los estudiantes mostraron una comprensión incompleta de la periodicidad.
Los resultados acerca de la identificación del periódico fueron organizados en cuatro grupos. El primer grupo fue identificado como la longitud del período. Shama (1998) observa que una función con período de longitud r, también tiene período de longitud nr, para, cualquier número natural n. Un período de longitud mínima. Los estudiantes prefirieron identificar un período fundamental como el período. Una conducta similar se encontró en los profesores. El segundo grupo fue identificado como las características de los puntos extremos del período. La mayoría de los estudiantes prefirieron identificar puntos de discontinuidad, puntos extremos o puntos cero (de la forma (x, o) ó (o, y) como los puntos extremos de un período. El tercer grupo tiene que ver con la localización del período. En los resultados anteriores vimos que los estudiantes tienen preferencia por el período fundamental y ciertas características de los extremos del período. En esta parte de la investigación Shama (1998) explora si los estudiantes tienen una preferencia particular por la localización del período. En efecto, los estudiantes suelen escoger como período aquel que comienza en el extremo izquierdo de la representación gráfica de una función periódica. Por ejemplo, en el curso de un decimal periódico escoger como extremo inicial del período el primer dígito a la derecha de la coma, les cuesta identificar como extremo inicial del período a un dígito que esté “alejado” de la coma. En otras palabras, los estudiantes tienden a localizar el período al comienzo de la representación gráfica en el extremos izquierdo. Por último, encontramos los resultados sobre los extremos del período. Algunos estudiantes piensan que los extremos de un período tienen que ser iguales, para algunos incluso si un período termina y comienza en extremos diferentes no es un período.
Shama (1998) concluye su artículo con una discusión sobre los resultados más resaltantes de su investigación. Uno de estos resultados es el que tiene que ver con la comprensión de la periodización como proceso. En particular, los estudiantes tienden a confundir el proceso con sus productos, entonces transfieren las propiedades del primero a los segundos. Entendida la periodicidad como proceso, se concibe entonces como fenómeno dependiente del tiempo. Por tanto, como un proceso que tiene un punto de inicio. Además, se tiende a asociar una dirección de ocurrencia al período como proceso es la frente de muchos de los errores que cometen los estudiantes. El otro resultado relevante discutido por Shama (1998) tiene que ver con la teoría de la Gestalt escapa del objetivo de la lección contar con más detalles sobre este asunto en particular. Para concluir, nos interesa resaltar que Shama (1998) llama la atención sobre la necesidad de investigar acerca de la influencia que tiene la enseñanza sobre estas maneras en que los estudiantes comprenden la periodicidad.
Pasamos ahora a considerar la investigación de Orhun (2000) sobre errores y concepciones erróneas en la enseñanza de la trigonometría. Para Orhun (2000) la trigonometría es la unidad donde se juntan tópicos de aritmética, realidades geométricas y relaciones trigonométricas. En la educación secundaria, la enseñanza de la trigonometría se limita, en buena medida, a la obtención de razones para un ángulo en particular. En la lección 9 estudiaremos este asunto para el caso de la enseñanza de la trigonometría en Venezuela. En parte, este énfasis en asuntos tan particulares es responsabilidad de los docentes quienes muchas veces no le proveen a los estudiantes de oportunidades de aprendizaje que lleven al aprendizaje de conceptos fundamentales en trigonometría.
En la enseñanza de la trigonometría en la escuela se debería considerar tanto las necesidades futuras de los estudiantes como resultados de algunas investigaciones en educación matemática. En cuanto al primer punto tenemos que experimentar por parte de los estudiantes con la parte analítica de la trigonometría es necesaria para el estudio del cálculo en la universidad. Sobre el segundo asunto tenemos que el uso de diferentes sistemas de representación (tablas numéricas, ecuaciones, gráficos) y la traducción entre ellos ayuda a la mejor comprensión de la conceptos matemáticos.
En la investigación realizada por Orhun participaron 77 estudiantes de décimo grado en Turquía. El estudio, tipo survey, se llevo a cabo mediante la aplicación de un instrumento con 15 preguntas. En el artículo comentado aquí, Orhun (2000) sólo presenta los resultados obtenidos en cuatro de esas preguntas. Dos de estas preguntas tienen que ver con la relación entre la medida de un ángulo con vértice en el centro de la circunferencia trigonométrica. Las otras dos preguntas tienen que ver con la función seno. El desempeño de los estudiantes en esta cuatro preguntas es bastante bajo. En las respuestas a las dos primeras preguntas los estudiantes mostraron dificultad en la conversación entre medidas de ángulos en grados a radianes. En cuanto a las otras dos preguntas, éstas tenían que ver con el concepto de dominio de una función y con percibir un número real como un ángulo en una función trigonométrica.
Orhun (2000) concluye que los estudiantes no desarrollan conceptos claros de trigonometría, algunos de ellos usan la notación algebraica de manera informal, la mayoría no comprende el concepto de trigonometría numérica, y la trigonometría es comprendida como relaciones entre los ángulos y los lados de un triángulo rectángulo. Orhun le atribuye todos estos errores y concepciones erróneas en los estudiantes al método de enseñanza que predomina en las escuelas. Para superar estos problemas, Orhun recomienda enseñar primero las funciones trigonométricas como funciones reales y antes de entrar a tratar problemas con ángulos, el uso de los gráficos de las funciones trigonométricas, y determinar las posibles concepciones erróneas y elaborar métodos para eliminarlas. Muchos de los problemas que encontramos en el aprendizaje de la trigonometría se resolverían con una enseñanza que tome en cuenta estas observaciones.
Algunos investigadores se han ocupado de estudiar la relación entre la trigonometría y otras materias escolares. Por ejemplo, Doerr (1996) estudió la integración entre la trigonometría, los vectores y la fuerza en un contexto de enseñanza centrado en el modelaje matemático. Doerr (1996) reporta en este trabajo la parte cualitativa de su investigación. En esta parte los datos fueron recogidos de diversas fuentes, tales como grabaciones en video de las clases y los cuadernos de apuntes de los estudiantes. En este estudio participaron 17 estudiantes, desde noveno hasta el doceavo grado, que aceptaron tomar un curso integrado de álgebra, trigonometría y física.
Doerr (1996) nos recuerda que hay que distinguir en la enseñanza del modelaje entre el enfoque exploración de un modelo y el enfoque construcción de un modelo. En el primer caso los estudiantes exploran con un modelo las posibilidades tales como fueron ya estudiadas por un experto. Entonces, desde este enfoque se le permita al estudiante comprender la manera de pensar de un experto sobre el problema particular propuesto al estudiante. En el segundo enfoque se le provee a los estudiantes de oportunidades para expresar sus propios conceptos, definir relaciones y explorar las consecuencias de esas relaciones. En este enfoque se busca que los estudiantes investiguen sus propias maneras de pensar sobre el problema propuesto. Según Doerr (1996) este enfoque es el más útil, la construcción de modelos lleva a los estudiantes a que hagan explícitas sus propias concepciones sobre las relaciones entre las variables y examinar las consecuencias de las mismas. Dentro de este enfoque se incluye el uso de herramientas computarizadas que faciliten la construcción de modelos. Sin embargo, escogieron un enfoque que combina ambas aproximaciones.
En las clases que tomaban los estudiantes se les presentaba un evento físico y se les pedía que hicieran explícitas sus propias representaciones, elegir las variables y formular las relaciones entre ellas. Estas clases formaban parte de una unidad curricular la cual fue diseñada de manera tal que integre tres componentes. 1) la recolección de datos en un experimento físico, 2) desarrollar y explorar una simulación por computadora y 3) analizar matemáticamente los datos (simbólico, gráfico, tabulador y geométrico).
Uno de los resultados más interesantes reportados por Doerr (1996) es que los estudiantes enfocaron desde cuatro puntos de vista diferentes las soluciones a los problemas planteados. Esto se debió en parte a que el ambiente de simulación por computadora proveyó a los estudiantes de herramientas flexibles que les permitían explorar la situación y contribuir una representación que tuviera sentido para ellos. Otro resultado reportado por Doerr (1996) es el de la creciente complejidad en los modelos desarrollados por los estudiantes. A medida que los estudiantes progresaban a lo largo de las clases, incorporaban varios componentes del modelo, los integraban con componentes previos y los extendían para responder a situaciones más complejas. Se produjo un refinamiento de las conjeturas elaboradas por los estudiantes. A pesar de esto, los estudiantes solían basarse más en las ecuaciones y la geometría para desarrollar sus soluciones a expensas del uso de la simulación por computadora.
Doerr (1996) organiza las implicaciones de su estudio en dos grupos. En el primer grupo incluye implicaciones para la enseñanza. Se concluye que este enfoque integrado en la enseñanza de la trigonometría fomenta la diversidad de razonamientos, la creatividad y el enriquecimiento de las respuestas mucho más allá de lo que se logra en el aula normal de matemáticas. Sin embargo, todo lo anterior no se logra fácilmente; como veremos más adelante, este enfoque introduce al profesor en lo que Skovsmose (2001) llama una zona de riesgo (ver la lección 5). Se requiere mejorar las actividades de manera tal que permitan llevarlas a un cierre. En el segundo grupo, Doerr (1998) incluye las implicaciones para el curriculum. Primero tenemos que un enfoque como el propuesto requiere un curriculum que permita la exploración de un problema durante un prolongado período de tiempo, muy distinto de lo que se hace dentro de un currículum tradicional. Para que nos demos una idea de este asunto, tenemos que el contenido cubierto durante los 35 días que duró el experimento, normalmente se cubre en 10 ó 12 días en un ambiente tradicional. El segundo punto tiene que ver con el contenido incluido en el curriculum. Desde la perspectiva propuesta por Doerr (1996) el modelaje no es sólo una actividad agregada al curriculum.
Entonces, el curriculum se basaría en nociones centrales de las matemáticas, las actividades de indagación de los estudiantes estarían guiadas por una pregunta esencial a partir de la cual se generaron nuevos problemas. Este entorno promocionó la investigación y mantuvo el interés de los estudiantes durante todas las clases. Para concluir, Doerr (1996) resalta que implementar este enfoque en el aula no es sencillo. Se requiere de una interpretación entre el trabajo en pequeños grupos y la discusión con toda la clase.
Blackett y Tall (1991) realizaron un estudio sobre el uso de computadoras en la enseñanza de la trigonometría y el género. Este estudio es del tipo experimental y un grupo control. Blackett y Tall (1991) señalan que en Inglaterra, la evidencia empírica muestra que aunque las hembras se desempeñan tan bien como los varones en matemáticas en los primeros años, a medida que avanzamos en los años de escolaridad comienzan a aparecer diferencias a favor de los varones, en particular en los grupos de mayor habilidad. También se sabe que las hembras resultan menos aventajadas que los varones en pruebas visuales-espaciales. Otro resultado mencionado por Blackett y Tall (1991), observado en experimentaciones anteriores, es que las hembras tienden más a la cooperación mientras que los varones tienden más a la competencia. Por lo tanto, se plantearon como hipótesis de su investigación si cierto software diseñado para relacionar conceptos espaciales y datos numéricos y simbólicos es usado en la enseñanza de la trigonometría entonces las hembras mejorarían en la percepción de esas relaciones.
El experimento fue realizado en dos escuelas en Inglaterra, una de las escuelas fue tomada como grupo control y la otra escuela fue considerada como grupo experimental. Un pre-test administrado a todos los estudiantes confirmó que había diferencias significativas entre ambos grupos. Luego le fueron administrados dos post-test, uno se aplicó inmediatamente al finalizar el tratamiento y el otro ocho semanas más tarde.
Blackett y Tall (1991) reconocen que la enseñanza inicial de la trigonometría está llena de dificultades. Al principio, se le pide al estudiante que establezca relaciones entre dibujos de triángulos y relaciones numéricos, trabajar con razones y manipular símbolos involucrados en tales relaciones. Aquí enfrentamos varios problemas. Primero, el uso de bosquejos de triángulos comunicaría la idea que sólo se pueden obtener resultados precisos usando procedimientos numéricos y si se usan dibujos estáticos en lugar de prestar atención a las relaciones cambiantes dinámicamente. Segundo, otras dificultades aparecen cuando el estudiante tiene que conceptualizar que pasa cuando un triángulo rectángulo cambia de dimensiones en dos maneras esencialmente diferentes: (1) en la medida que un ángulo agudo aumenta y la hipotenusa se mantiene fija, el lado opuesto aumenta y el lado adyacente decrece, (2) los ángulos permanecen constantes, el alargamiento de la hipotenusa por un factor dado cambia los otros dos lados por el mismo factor (Blackett y Tall, 1991). Una manera de superar estas dificultades es mediante la introducción de un software que permita la manipulación dinámica de objetos matemáticos.
Blackett y Tall (1991) reportan que su experimento confirmó la hipótesis que el grupo experimental, el cual uso el software, mejoró su desempeño respecto a los estudiantes en el grupo control. En especial, las hembras en el grupo experimental mostraron una mayor ganancia en ese mejoramiento que los varones, excepto en el caso del grupo de los menos capaces. Además, concluyen que el uso del software ayuda a los estudiantes a establecer relaciones entre las habilidades visual y numérica.
Por último tenemos el estudio de Delice y Monaghan (2003) sobre las herramientas usadas en la enseñanza de la trigonometría en Inglaterra y el Turquía respectivamente. Este estudio se centra en dos asuntos. (1) el desempeño de los estudiantes al hallar longitud y ángulos desconocidos a partir de diagramas, simplificación de expresiones y resolución de problemas; y (2) los contextos de aprendizaje: el curriculum, la evaluación, las prácticas en el aula y la actitud de los profesores. Este estudio es el tipo estudio de casos múltiple exploratorio. Los datos fueron recogidos mediante un test, entrevistas con los estudiantes y profesores, y observaciones de clases. En este estudio participaron 60 estudiantes de 17-18 años de edad de ambos países. Para evaluar el desempeño de los estudiantes se usó un instrumento con 16 preguntas. Sobre álgebra (la mayoría de simplificación), 16 preguntas de simplificación trigonométrica y 6 problemas del “mundo real”.
Veamos ahora los resultados obtenidos en cada una de las partes del instrumento aplicado a los estudiantes. Los estudiantes turcos tuvieron un mejor desempeño que los estudiantes ingleses en la primera parte del instrumento. En particular, Delice y Monaghan (2003) resaltan que los estudiantes ingleses experimentaron dificultad en especial con fracciones algebraicas, cancelando con frecuencia equivocadamente. Todos los estudiantes tuvieron dificultad para responder la segunda parte del instrumento, pero los estudiantes turcos tuvieron un mejor desempeño que los estudiantes de Inglaterra. Algunos estudiantes manifestaron en la entrevista que traducían la expresión trigonométrica, operaban con la nueva expresión y luego la convertían otra vez a trigonométrica. Este método no resultó muy útil en particular cuando se cometían errores en la manipulación algebraica. Los estudiantes ingleses obtuvieron mejores resultados que los estudiantes turcos en la tercera parte del instrumento. En particular, los estudiantes turcos tienen problemas con representaciones tridimensionales y con figuras donde aparecen más de un triángulo rectángulo.
En lo que respecta al uso de instrumentos Delice y Monaghan (2003) reportan diferencias entre ambos países. En Inglaterra es común el uso de calculadoras y de hojas con fórmulas en las clases de trigonometría. Mientras que en Turquía se usan, aunque de manera marginal, las tablas trigonométricas. El uso de las tablas aparece como un objetivo en los programas de matemáticas en ese último país. Volveremos sobre este tema más adelante en la lección 9. Las herramientas seleccionadas y la manera en que son usadas depende de la enseñanza de la trigonometría en el aula, pero éstas no se encuentran relacionadas linealmente. Más bien existe una relación dialéctica entre uso de herramientas y enseñanza. Por ejemplo, en Inglaterra los estudiantes realizan problemas con ángulos de cualquier magnitud, mientras que en Turquía se trabaja casi exclusivamente con ángulos múltiplos de 15°. Lo anterior se debe al uso de calculadoras. Aún más, en Inglaterra se enfatiza las funciones seno, coseno y tangente las cuales aparecen como teclas en las calculadores. Como vemos, a diferencia de Orhun (2000), Delice y Monaghan (2003) no asumen una simple relación de causalidad entre la manera en que los profesores enseñan trigonometría y aquello que los estudiantes aprenden.
Delice y Monaghan (2003) concluyen que la trigonometría en Inglaterra y en Turquía están relacionadas pero resultan ser diferentes trigonometrías. En ambos países las actividades que se realizan en el aula son diferentes”, hay diferencias considerables en las herramientas y técnicas usadas; las acciones matemáticas relacionadas al uso de las herramientas difieren; y las reglas de comportamiento relacionadas con las actividades y uso de herramientas son distintas.
Hasta aquí pasamos revista a un conjunto de investigaciones sobre diferentes aspectos de la enseñanza y aprendizaje de la trigonometría en la escuela. Cada uno de estos trabajos se enfoca en problemas particulares de la enseñanza y el aprendizaje de la trigonometría, usan diferentes metodologías, etc. Casi todos ellos coinciden en que se han realizado muy pocas investigaciones; en este campo a pesar de la importancia de este contenido en la escuela y de las numerosas dificultades que muestran los estudiantes en su aprendizaje.
Se han realizado muy pocas investigaciones sobre el aprendizaje y la enseñanza de la Trigonometría en la escuela. Una evidencia de esta escasez es que la Trigonometría no aparece mencionada en el Handbook of Research on the Teaching and Learning of Mathematics editado por Grouws (1992, citado en de Kee, Moura y Dionne, s.f.). En esta sección haremos referencia a algunos de los pocos trabajos que pudimos localizar en nuestra investigación bibliográfica sobre el tema. (de Kee y otros, s.f., Doerr, 1996, Shama, 1998, Delice y Monaghan, 2003, Orhun, 200 y Balckett y Tall, 1991). Estos trabajos pueden ser catalogados en cinco categorías: (1) estudio de la comprensión de conceptos trigonométricos (de Kee y otros, s.f. y Shama, 1998), (2) estudio de las concepciones erróneas y errores (Orhun, 2000), (3) estudio de la integración de la trigonometría con otros tópicos (Doerr, 1996), (4) estudio del efecto del uso de computadoras en el aprendizaje de la trigonometría (Blackett y Tall, 1991) y (5) estudio comparativo de la enseñanza de la trigonometría (Delice y Monaghan, 2003).
De Kee y otros (s.f) estudiaron la comprensión de las nociones de las funciones seno y coseno en estudiantes de secundaria. Estos autores aclaran que se ocupan de la comprensión en un momento determinado y no en su desarrollo. Basándose en un modelo constructivista propuesto por Herscovics y Bergeron (1982), de Kee y otros (s.f.) distinguen cinco tipos de componentes de la comprensión (1) inicial, (2) procedimental (3) abstracción, (4) formalización y (5) global.
Los autores diseñaron un conjunto de tareas las cuales le propusieron a los cinco estudiantes participantes durante una serie de entrevistas. Todos los estudiantes pertenecían a la misma sección. Tomando en cuenta el modelo de Herscovics y Bergeron (1982), de Kee y otros (s.f) elaboraron una serie de criterios para indagar acerca de la comprensión del seno y del coseno por parte de los alumnos. Por ejemplo, relacionado con el componente abstracción propusieron un texto a los alumnos sobre la invarianza de las razones trigonométricas respecto al triángulo, es decir, las razones trigonométricas no varían si las dimensiones del triángulo se reducen o se aumentan en longitud.
La comprensión de la noción de seno y coseno en los estudiantes de secundaria fue estudiada por de Kee y otros (s.f) en dos contextos clásicos. El primero de estos contextos fue el del triángulo rectángulo, mientras que el segundo fue el contexto de la circunferencia trigonométrica. En ambos contextos se indagó sobre la comprensión según los cinco componentes del modelo de Herscovics y Bergeron (1982). El seno y coseno son vistos como razones de lados de un triángulo rectángulo con hipotenusa En el primer contexto, el triángulo rectángulo, se encontró que algunos estudiantes tienen problema en comprender el seno y el coseno como razones sin unidad; no pueden calcular el seno o el coseno a partir de un ángulo, emplean correctamente la notación trigonométrica; reproducen correctamente la definición formal de seno y de coseno, y las aplican correctamente al caso de un ángulo agudo en un triángulo dado; y en un principio los alumnos sólo veían al seno y al coseno como fracciones, es decir, no se consideraban expresar las fracciones resultantes como números con decimales (por ejemplo, tomar 3 como 0,6).
En el contexto de la circunferencia trigonométrica, el seno y coseno son presentados como funciones reales de variable real. Esta manera de ver las funciones trigonométricas es estudiada en la lección 4. Al igual que en el contexto anterior, de Kee y otros (s.f) le pidieron a los estudiantes que dijeran cómo le explicarían a un compañero lo qué es una función trigonométrica. Se les propuso a los estudiantes que harían a partir de una tabla con valores del seno para ciento ochenta ángulos medidos en grados. Para algunos estudiantes cada par de valores en la tabla representaba una función, para otros de los estudiantes la tabla completa representaba una función trigonométrica. Otros alumnos hicieron referencia al triángulo y otros a las gráficas. Ninguno de los estudiantes hizo referencia a las funciones circulares. Una vez que los investigadores les mencionaron estas funciones y les pidieron que hablaran sobre ellas, sólo una alumna se dio cuenta que éstas y las funciones trigonométricas están relacionadas.
Todos los estudiantes mostraron tener dificultades en comprender que una tabla representa a una función, en general tenían problemas con el concepto de función. Los estudiantes también mostraron tener dificultades para hallar el valor del seno de un número real usando una cuerda y una circunferencia trigonométrica.
De Kee y otros (s.f.) encontraron cuatro representaciones del seno y del coseno entre los estudiantes de secundaria. La primera tiene que ver con las razones, la segunda con las coordenadas cartesianas, la tercera con los valores que se obtienen en una calculadora y, por último las curvas con aspecto ondulado. El desempeño de los estudiantes en todas las tareas fue mejor en el primer contexto que en el segundo. Los estudiantes mostraron no haber establecido relaciones entre las diferentes representaciones del seno y del coseno antes enumeradas. Si desea mejorar la comprensión es necesario promover y fortalecer las relaciones entre esas representaciones. Por último, de Kee y otros (s.f) resaltan que los estudiantes en general tenían dificultad para expresarse. Por tanto, proponen que se den más a menudo oportunidades para la discusión de temas de matemáticas en el aula.
Shama (1998) estudió la comprensión de la periodicidad con un proceso que tiene una estructura Gestalt. Este trabajo de investigaciones fue realizado con estudiantes israelíes de 3er grado hasta el grado 12. Este es un estudio que se llevó a cabo en dos fases, la primera de tipo cualitativo en la que se observaron clases y se realizaron entrevistas con los estudiantes. La segunda de tipo cuantitativo consistió de una encuesta aplicada a 895 estudiantes de grado 11.
La periodicidad aparece en la naturaleza, por todos lados. Por ejemplo, la fases de la luna y las estaciones. También encontramos patrones periódicos en algunas manifestaciones culturales. La periodicidad es un concepto científico. Las funciones periódicas son usadas para modelar un sin número de fenómenos en biología, química,, física y en la tecnología. Este concepto cobra aún más relevancia si lo vemos como necesario para comprender la conducta de sistemas caóticos y sistemas no lineales. Los patrones periódicos juegan un papel de relevancia en las matemáticas. Podemos concluir que es un concepto muy general y de mucha relevancia (Shama, 1998, p.255).
Señala Shama (1999) que a pesar de la relevancia de este tema, hasta ese momento no se había investigado sobre la comprensión de la periodicidad. Shama decidió entonces centrar su investigación en este concepto. Para ello adoptó como marco conceptual las ideas de concepto imagen y concepto definición propuesta por Vinner (1991, citado por Shama, 1998, p 256).
Shama (1998) organiza la presentación de los resultados de su investigación en tres grandes categorías. Estas categorías son la comprensión de la periodicidad como un proceso, la identificación del período. Tanto los resultados de la entrevista como los de la encuesta llevan a la conclusión que la mayoría de los estudiantes concibe la periodicidad como un proceso. Este puede decir que el concepto imagen de la periodicidad se basa en ejemplos dinámicos. Esto se debe tanto a la enseñanza como a la experiencia diaria.
En las entrevistas se encontró con frecuencia el error de considerar fenómenos no-periódicos como si fueran periódicos. Tomando en consideración los resultados de la entrevista se diseñaron diferentes tipos de preguntas para evaluar aún más esa relación. Muchos de los estudiantes mostraron una comprensión incompleta de la periodicidad.
Los resultados acerca de la identificación del periódico fueron organizados en cuatro grupos. El primer grupo fue identificado como la longitud del período. Shama (1998) observa que una función con período de longitud r, también tiene período de longitud nr, para, cualquier número natural n. Un período de longitud mínima. Los estudiantes prefirieron identificar un período fundamental como el período. Una conducta similar se encontró en los profesores. El segundo grupo fue identificado como las características de los puntos extremos del período. La mayoría de los estudiantes prefirieron identificar puntos de discontinuidad, puntos extremos o puntos cero (de la forma (x, o) ó (o, y) como los puntos extremos de un período. El tercer grupo tiene que ver con la localización del período. En los resultados anteriores vimos que los estudiantes tienen preferencia por el período fundamental y ciertas características de los extremos del período. En esta parte de la investigación Shama (1998) explora si los estudiantes tienen una preferencia particular por la localización del período. En efecto, los estudiantes suelen escoger como período aquel que comienza en el extremo izquierdo de la representación gráfica de una función periódica. Por ejemplo, en el curso de un decimal periódico escoger como extremo inicial del período el primer dígito a la derecha de la coma, les cuesta identificar como extremo inicial del período a un dígito que esté “alejado” de la coma. En otras palabras, los estudiantes tienden a localizar el período al comienzo de la representación gráfica en el extremos izquierdo. Por último, encontramos los resultados sobre los extremos del período. Algunos estudiantes piensan que los extremos de un período tienen que ser iguales, para algunos incluso si un período termina y comienza en extremos diferentes no es un período.
Shama (1998) concluye su artículo con una discusión sobre los resultados más resaltantes de su investigación. Uno de estos resultados es el que tiene que ver con la comprensión de la periodización como proceso. En particular, los estudiantes tienden a confundir el proceso con sus productos, entonces transfieren las propiedades del primero a los segundos. Entendida la periodicidad como proceso, se concibe entonces como fenómeno dependiente del tiempo. Por tanto, como un proceso que tiene un punto de inicio. Además, se tiende a asociar una dirección de ocurrencia al período como proceso es la frente de muchos de los errores que cometen los estudiantes. El otro resultado relevante discutido por Shama (1998) tiene que ver con la teoría de la Gestalt escapa del objetivo de la lección contar con más detalles sobre este asunto en particular. Para concluir, nos interesa resaltar que Shama (1998) llama la atención sobre la necesidad de investigar acerca de la influencia que tiene la enseñanza sobre estas maneras en que los estudiantes comprenden la periodicidad.
Pasamos ahora a considerar la investigación de Orhun (2000) sobre errores y concepciones erróneas en la enseñanza de la trigonometría. Para Orhun (2000) la trigonometría es la unidad donde se juntan tópicos de aritmética, realidades geométricas y relaciones trigonométricas. En la educación secundaria, la enseñanza de la trigonometría se limita, en buena medida, a la obtención de razones para un ángulo en particular. En la lección 9 estudiaremos este asunto para el caso de la enseñanza de la trigonometría en Venezuela. En parte, este énfasis en asuntos tan particulares es responsabilidad de los docentes quienes muchas veces no le proveen a los estudiantes de oportunidades de aprendizaje que lleven al aprendizaje de conceptos fundamentales en trigonometría.
En la enseñanza de la trigonometría en la escuela se debería considerar tanto las necesidades futuras de los estudiantes como resultados de algunas investigaciones en educación matemática. En cuanto al primer punto tenemos que experimentar por parte de los estudiantes con la parte analítica de la trigonometría es necesaria para el estudio del cálculo en la universidad. Sobre el segundo asunto tenemos que el uso de diferentes sistemas de representación (tablas numéricas, ecuaciones, gráficos) y la traducción entre ellos ayuda a la mejor comprensión de la conceptos matemáticos.
En la investigación realizada por Orhun participaron 77 estudiantes de décimo grado en Turquía. El estudio, tipo survey, se llevo a cabo mediante la aplicación de un instrumento con 15 preguntas. En el artículo comentado aquí, Orhun (2000) sólo presenta los resultados obtenidos en cuatro de esas preguntas. Dos de estas preguntas tienen que ver con la relación entre la medida de un ángulo con vértice en el centro de la circunferencia trigonométrica. Las otras dos preguntas tienen que ver con la función seno. El desempeño de los estudiantes en esta cuatro preguntas es bastante bajo. En las respuestas a las dos primeras preguntas los estudiantes mostraron dificultad en la conversación entre medidas de ángulos en grados a radianes. En cuanto a las otras dos preguntas, éstas tenían que ver con el concepto de dominio de una función y con percibir un número real como un ángulo en una función trigonométrica.
Orhun (2000) concluye que los estudiantes no desarrollan conceptos claros de trigonometría, algunos de ellos usan la notación algebraica de manera informal, la mayoría no comprende el concepto de trigonometría numérica, y la trigonometría es comprendida como relaciones entre los ángulos y los lados de un triángulo rectángulo. Orhun le atribuye todos estos errores y concepciones erróneas en los estudiantes al método de enseñanza que predomina en las escuelas. Para superar estos problemas, Orhun recomienda enseñar primero las funciones trigonométricas como funciones reales y antes de entrar a tratar problemas con ángulos, el uso de los gráficos de las funciones trigonométricas, y determinar las posibles concepciones erróneas y elaborar métodos para eliminarlas. Muchos de los problemas que encontramos en el aprendizaje de la trigonometría se resolverían con una enseñanza que tome en cuenta estas observaciones.
Algunos investigadores se han ocupado de estudiar la relación entre la trigonometría y otras materias escolares. Por ejemplo, Doerr (1996) estudió la integración entre la trigonometría, los vectores y la fuerza en un contexto de enseñanza centrado en el modelaje matemático. Doerr (1996) reporta en este trabajo la parte cualitativa de su investigación. En esta parte los datos fueron recogidos de diversas fuentes, tales como grabaciones en video de las clases y los cuadernos de apuntes de los estudiantes. En este estudio participaron 17 estudiantes, desde noveno hasta el doceavo grado, que aceptaron tomar un curso integrado de álgebra, trigonometría y física.
Doerr (1996) nos recuerda que hay que distinguir en la enseñanza del modelaje entre el enfoque exploración de un modelo y el enfoque construcción de un modelo. En el primer caso los estudiantes exploran con un modelo las posibilidades tales como fueron ya estudiadas por un experto. Entonces, desde este enfoque se le permita al estudiante comprender la manera de pensar de un experto sobre el problema particular propuesto al estudiante. En el segundo enfoque se le provee a los estudiantes de oportunidades para expresar sus propios conceptos, definir relaciones y explorar las consecuencias de esas relaciones. En este enfoque se busca que los estudiantes investiguen sus propias maneras de pensar sobre el problema propuesto. Según Doerr (1996) este enfoque es el más útil, la construcción de modelos lleva a los estudiantes a que hagan explícitas sus propias concepciones sobre las relaciones entre las variables y examinar las consecuencias de las mismas. Dentro de este enfoque se incluye el uso de herramientas computarizadas que faciliten la construcción de modelos. Sin embargo, escogieron un enfoque que combina ambas aproximaciones.
En las clases que tomaban los estudiantes se les presentaba un evento físico y se les pedía que hicieran explícitas sus propias representaciones, elegir las variables y formular las relaciones entre ellas. Estas clases formaban parte de una unidad curricular la cual fue diseñada de manera tal que integre tres componentes. 1) la recolección de datos en un experimento físico, 2) desarrollar y explorar una simulación por computadora y 3) analizar matemáticamente los datos (simbólico, gráfico, tabulador y geométrico).
Uno de los resultados más interesantes reportados por Doerr (1996) es que los estudiantes enfocaron desde cuatro puntos de vista diferentes las soluciones a los problemas planteados. Esto se debió en parte a que el ambiente de simulación por computadora proveyó a los estudiantes de herramientas flexibles que les permitían explorar la situación y contribuir una representación que tuviera sentido para ellos. Otro resultado reportado por Doerr (1996) es el de la creciente complejidad en los modelos desarrollados por los estudiantes. A medida que los estudiantes progresaban a lo largo de las clases, incorporaban varios componentes del modelo, los integraban con componentes previos y los extendían para responder a situaciones más complejas. Se produjo un refinamiento de las conjeturas elaboradas por los estudiantes. A pesar de esto, los estudiantes solían basarse más en las ecuaciones y la geometría para desarrollar sus soluciones a expensas del uso de la simulación por computadora.
Doerr (1996) organiza las implicaciones de su estudio en dos grupos. En el primer grupo incluye implicaciones para la enseñanza. Se concluye que este enfoque integrado en la enseñanza de la trigonometría fomenta la diversidad de razonamientos, la creatividad y el enriquecimiento de las respuestas mucho más allá de lo que se logra en el aula normal de matemáticas. Sin embargo, todo lo anterior no se logra fácilmente; como veremos más adelante, este enfoque introduce al profesor en lo que Skovsmose (2001) llama una zona de riesgo (ver la lección 5). Se requiere mejorar las actividades de manera tal que permitan llevarlas a un cierre. En el segundo grupo, Doerr (1998) incluye las implicaciones para el curriculum. Primero tenemos que un enfoque como el propuesto requiere un curriculum que permita la exploración de un problema durante un prolongado período de tiempo, muy distinto de lo que se hace dentro de un currículum tradicional. Para que nos demos una idea de este asunto, tenemos que el contenido cubierto durante los 35 días que duró el experimento, normalmente se cubre en 10 ó 12 días en un ambiente tradicional. El segundo punto tiene que ver con el contenido incluido en el curriculum. Desde la perspectiva propuesta por Doerr (1996) el modelaje no es sólo una actividad agregada al curriculum.
Entonces, el curriculum se basaría en nociones centrales de las matemáticas, las actividades de indagación de los estudiantes estarían guiadas por una pregunta esencial a partir de la cual se generaron nuevos problemas. Este entorno promocionó la investigación y mantuvo el interés de los estudiantes durante todas las clases. Para concluir, Doerr (1996) resalta que implementar este enfoque en el aula no es sencillo. Se requiere de una interpretación entre el trabajo en pequeños grupos y la discusión con toda la clase.
Blackett y Tall (1991) realizaron un estudio sobre el uso de computadoras en la enseñanza de la trigonometría y el género. Este estudio es del tipo experimental y un grupo control. Blackett y Tall (1991) señalan que en Inglaterra, la evidencia empírica muestra que aunque las hembras se desempeñan tan bien como los varones en matemáticas en los primeros años, a medida que avanzamos en los años de escolaridad comienzan a aparecer diferencias a favor de los varones, en particular en los grupos de mayor habilidad. También se sabe que las hembras resultan menos aventajadas que los varones en pruebas visuales-espaciales. Otro resultado mencionado por Blackett y Tall (1991), observado en experimentaciones anteriores, es que las hembras tienden más a la cooperación mientras que los varones tienden más a la competencia. Por lo tanto, se plantearon como hipótesis de su investigación si cierto software diseñado para relacionar conceptos espaciales y datos numéricos y simbólicos es usado en la enseñanza de la trigonometría entonces las hembras mejorarían en la percepción de esas relaciones.
El experimento fue realizado en dos escuelas en Inglaterra, una de las escuelas fue tomada como grupo control y la otra escuela fue considerada como grupo experimental. Un pre-test administrado a todos los estudiantes confirmó que había diferencias significativas entre ambos grupos. Luego le fueron administrados dos post-test, uno se aplicó inmediatamente al finalizar el tratamiento y el otro ocho semanas más tarde.
Blackett y Tall (1991) reconocen que la enseñanza inicial de la trigonometría está llena de dificultades. Al principio, se le pide al estudiante que establezca relaciones entre dibujos de triángulos y relaciones numéricos, trabajar con razones y manipular símbolos involucrados en tales relaciones. Aquí enfrentamos varios problemas. Primero, el uso de bosquejos de triángulos comunicaría la idea que sólo se pueden obtener resultados precisos usando procedimientos numéricos y si se usan dibujos estáticos en lugar de prestar atención a las relaciones cambiantes dinámicamente. Segundo, otras dificultades aparecen cuando el estudiante tiene que conceptualizar que pasa cuando un triángulo rectángulo cambia de dimensiones en dos maneras esencialmente diferentes: (1) en la medida que un ángulo agudo aumenta y la hipotenusa se mantiene fija, el lado opuesto aumenta y el lado adyacente decrece, (2) los ángulos permanecen constantes, el alargamiento de la hipotenusa por un factor dado cambia los otros dos lados por el mismo factor (Blackett y Tall, 1991). Una manera de superar estas dificultades es mediante la introducción de un software que permita la manipulación dinámica de objetos matemáticos.
Blackett y Tall (1991) reportan que su experimento confirmó la hipótesis que el grupo experimental, el cual uso el software, mejoró su desempeño respecto a los estudiantes en el grupo control. En especial, las hembras en el grupo experimental mostraron una mayor ganancia en ese mejoramiento que los varones, excepto en el caso del grupo de los menos capaces. Además, concluyen que el uso del software ayuda a los estudiantes a establecer relaciones entre las habilidades visual y numérica.
Por último tenemos el estudio de Delice y Monaghan (2003) sobre las herramientas usadas en la enseñanza de la trigonometría en Inglaterra y el Turquía respectivamente. Este estudio se centra en dos asuntos. (1) el desempeño de los estudiantes al hallar longitud y ángulos desconocidos a partir de diagramas, simplificación de expresiones y resolución de problemas; y (2) los contextos de aprendizaje: el curriculum, la evaluación, las prácticas en el aula y la actitud de los profesores. Este estudio es el tipo estudio de casos múltiple exploratorio. Los datos fueron recogidos mediante un test, entrevistas con los estudiantes y profesores, y observaciones de clases. En este estudio participaron 60 estudiantes de 17-18 años de edad de ambos países. Para evaluar el desempeño de los estudiantes se usó un instrumento con 16 preguntas. Sobre álgebra (la mayoría de simplificación), 16 preguntas de simplificación trigonométrica y 6 problemas del “mundo real”.
Veamos ahora los resultados obtenidos en cada una de las partes del instrumento aplicado a los estudiantes. Los estudiantes turcos tuvieron un mejor desempeño que los estudiantes ingleses en la primera parte del instrumento. En particular, Delice y Monaghan (2003) resaltan que los estudiantes ingleses experimentaron dificultad en especial con fracciones algebraicas, cancelando con frecuencia equivocadamente. Todos los estudiantes tuvieron dificultad para responder la segunda parte del instrumento, pero los estudiantes turcos tuvieron un mejor desempeño que los estudiantes de Inglaterra. Algunos estudiantes manifestaron en la entrevista que traducían la expresión trigonométrica, operaban con la nueva expresión y luego la convertían otra vez a trigonométrica. Este método no resultó muy útil en particular cuando se cometían errores en la manipulación algebraica. Los estudiantes ingleses obtuvieron mejores resultados que los estudiantes turcos en la tercera parte del instrumento. En particular, los estudiantes turcos tienen problemas con representaciones tridimensionales y con figuras donde aparecen más de un triángulo rectángulo.
En lo que respecta al uso de instrumentos Delice y Monaghan (2003) reportan diferencias entre ambos países. En Inglaterra es común el uso de calculadoras y de hojas con fórmulas en las clases de trigonometría. Mientras que en Turquía se usan, aunque de manera marginal, las tablas trigonométricas. El uso de las tablas aparece como un objetivo en los programas de matemáticas en ese último país. Volveremos sobre este tema más adelante en la lección 9. Las herramientas seleccionadas y la manera en que son usadas depende de la enseñanza de la trigonometría en el aula, pero éstas no se encuentran relacionadas linealmente. Más bien existe una relación dialéctica entre uso de herramientas y enseñanza. Por ejemplo, en Inglaterra los estudiantes realizan problemas con ángulos de cualquier magnitud, mientras que en Turquía se trabaja casi exclusivamente con ángulos múltiplos de 15°. Lo anterior se debe al uso de calculadoras. Aún más, en Inglaterra se enfatiza las funciones seno, coseno y tangente las cuales aparecen como teclas en las calculadores. Como vemos, a diferencia de Orhun (2000), Delice y Monaghan (2003) no asumen una simple relación de causalidad entre la manera en que los profesores enseñan trigonometría y aquello que los estudiantes aprenden.
Delice y Monaghan (2003) concluyen que la trigonometría en Inglaterra y en Turquía están relacionadas pero resultan ser diferentes trigonometrías. En ambos países las actividades que se realizan en el aula son diferentes”, hay diferencias considerables en las herramientas y técnicas usadas; las acciones matemáticas relacionadas al uso de las herramientas difieren; y las reglas de comportamiento relacionadas con las actividades y uso de herramientas son distintas.
Hasta aquí pasamos revista a un conjunto de investigaciones sobre diferentes aspectos de la enseñanza y aprendizaje de la trigonometría en la escuela. Cada uno de estos trabajos se enfoca en problemas particulares de la enseñanza y el aprendizaje de la trigonometría, usan diferentes metodologías, etc. Casi todos ellos coinciden en que se han realizado muy pocas investigaciones; en este campo a pesar de la importancia de este contenido en la escuela y de las numerosas dificultades que muestran los estudiantes en su aprendizaje.
domingo, 9 de septiembre de 2007
Álgebra con materiales manipulables (1)
La discusión teórica no puede estar separada de la actividad práctica, es más, es imposible separarla. Iniciamos esta bitácora (blog) dedicada a la didáctica del álgebra con unas discusiones sobre algunos asuntos de orden teórico. Aparentemente esta discusión podría no ser de interés para los profesores que trabajan día a día en el aula. Nada más alejado de la realidad. La discusión sobre asuntos teóricos no está reservada a los profesores universitarios, es necesaria para los profesores de aula y no se puede divorciar de la teoría. A medida que se desarrollen los temas en esta bitácora, que aumente la participación, que se enriquezca la discusión veremos que la teoría y la práctica no se pueden separar. Alguien dijo, no hay mejor práctica que una buena teoría, o viceversa agrego yo.
Para iniciar una conversación en torno a asuntos más prácticos, propongo que hablemos sobre materiales manipulables de utilidad para la enseñanza de algunos temas de álgebra. Sería interesante que experimentemos con estos materiales, registremos esas experiencias y las compartamos con nuestros colegas. Hay muy pocos datos experimentales que soporten las ventajas de uso de estos materiales manipulables. Tampoco se suele hacer explícita la concepción de las matemáticas en que se apoya el diseño de los materiales manipulables.
El primer material que proponemos es el de las fichas de álgebra. Primero, tenemos a continuación las piezas básicas.
Para iniciar una conversación en torno a asuntos más prácticos, propongo que hablemos sobre materiales manipulables de utilidad para la enseñanza de algunos temas de álgebra. Sería interesante que experimentemos con estos materiales, registremos esas experiencias y las compartamos con nuestros colegas. Hay muy pocos datos experimentales que soporten las ventajas de uso de estos materiales manipulables. Tampoco se suele hacer explícita la concepción de las matemáticas en que se apoya el diseño de los materiales manipulables.
El primer material que proponemos es el de las fichas de álgebra. Primero, tenemos a continuación las piezas básicas.
Segundo, le mostramos una plantilla con la que puede construir un juego de fichas completo compuesto de 18 unidades, 8 fichas “x” y 4 fichas “x2”. Se pueden construir las fichas positivas de diferentes colores (por ejemplo, "1" azul, “x” verde y “x2” amarillo), también se pueden hacer todas las fichas positivas de un solo color.
Es necesario hacer un juego de fichas negativas, preferiblemente de color rojo.
Cada estudiantes debería tener en el aula un juego de fichas (un grupo de fichas positivas y un grupo de fichas negativas). Es recomendable que el profesor construya un juego de fichas grandes para hacer demostraciones en el aula.
Ahora sólo nos faltan actividades para realizar con estas fichas.
jueves, 6 de septiembre de 2007
Pedagogía de las Ciencias Matemáticas: Implicaciones para la Didáctica del Álgebra (1)
La influencia de la psicología en la investigación en educación matemática, especialmente en los países anglosajones, ha sido enorme. A tal punto que los problemas, métodos y resultados son determinados por el conocimiento dominante en la psicología, sea este el conductismo o el constructivismo. La investigación en didáctica del álgebra no ha escapado de esa influencia. Ésta también se ha caracterizado por centrar su atención en el aprendizaje, comenzando por los errores que comenten los estudiantes al manipular expresiones algebraicas o al resolver problemas que requieren del álgebra para su solución, pasando por el estudio de las estrategias usadas en la resolución de problemas, hasta la indagación sobre las concepciones que tienen los estudiantes de diversos conceptos clave en el álgebra escolar.
Enfoques surgidos en España y en Nuestra América, como el ontosemiótico y la socioepistemología, están contribuyendo a separarnos un poco de esa tendencia. Desde las perspectivas de estos enfoques se toman en cuenta otros aspectos, o variables, como los textos escolares, los programas de estudio oficiales, la organización escolar, la epistemología, la historia y otros a la hora de estudiar el aprendizaje de las matemáticas en la escuela. Sin embargo, pareciera que se sigue manteniendo el énfasis en el aprendizaje y se le presta poca atención a la enseñanza. Particularmente pienso que los estudiantes aprenden matemáticas en la escuela bajo la influencia de la enseñanza, tal vez sea mejor decir la instrucción, es decir bajo la influencia del profesor y otros factores escolares y extraescolares. Creo que la influencia del profesor es determinante en los aprendizajes que logran los estudiantes. No porque el conocimiento se pueda transferir directamente de la cabeza del profesor a las cabezas de los estudiantes, sino porque este determina las formas en que los estudiantes “ven” el estudio de las matemáticas. La asimilación consciente de las matemáticas de parte de los escolares es mediada por el profesor, quien la estimula o la limita. Desde esta perspectiva, alejada de una visión psicologista de la enseñanza, recobra valor la pedagogía.
La excesiva influencia de la psicología en la educación matemática ha hecho que los educadores matemáticos nos olvidemos de la pedagogía en general y de la pedagogía iberoamericana en particular. No es muy común ver trabajos de educadores matemáticos de Nuestra América basados en ideas de Freire, mientras que encontramos cientos de citas a los trabajos de Piaget, Dubinsky o cualquier otro personaje con nombre impronunciable. Como un primer paso para recuperar o realmente tomar en cuenta el pensamiento pedagógico he propuesto el uso del término PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS MATEMÁTICAS para referirnos a nuestra disciplina, o campo de producción de conocimientos si usted lo prefiere. De esta manera ponemos a la pedagogía por delante, al pensamiento pedagógico como guía. ¿Qué implicaciones tiene este enfoque en el caso de la didáctica del álgebra?
El enfoque pedagógico nos obliga a dotarnos de un referente teórico para comprender la enseñanza, el aprendizaje y la evaluación del álgebra en la escuela. No es este el momento para ahondar en este asunto. Por ahora me interesa enfatizar que este enfoque nos obliga a fijar nuestra atención en varios aspectos de la actividad pedagógica en la escuela y no quedarnos sólo con el aprendizaje que se espera que logren los estudiantes. Por ejemplo, en el aula el profesor también aprende. La tarea de enseñar no se puede separar del aprendizaje. El profesor estudia para preparar sus lecciones, toma en cuenta sus experiencias previas en la enseñanza de los diversos tópicos del álgebra escolar, sabe cuáles son las principales dificultades que encuentran sus estudiantes en el aprendizaje de esta rama de las matemáticas, domina el contenido tal como aparece en los textos escolares, ha resuelto una gran cantidad de problemas y ejercicios de álgebra para los diversos niveles en que enseña y ha enseñado, sabe cuáles son las expectativas oficiales plasmadas en los programas de estudio oficiales; en fin, el profesor de matemáticas aprende un montón de cosas al prepararse para enseñar aquello, como dice Simón Rodríguez, “que prometió enseñar”. Si tomamos en cuenta que el docente es un adulto que aprende, no podemos pretender estudiar el aprendizaje del profesor y el conocimiento que despliega en la enseñanza desde las perspectivas psicológicas desarrolladas para niños, niñas y adolescentes.
Apartarse del enfoque psicologista nos permite centrar nuestra atención en aspectos que a través de sus lentes no veíamos. Uno de ellos es el conocimiento que necesita desarrollar, apropiarse, el profesor de matemáticas para enseñar esta ciencia en la escuela. ¿Qué tiene que saber de álgebra un profesor para enseñar tópicos de esta disciplina en la escuela? Esa pregunta no puede responderse desde la perspectiva psicológica tradicional. Sólo el enfoque pedagógico, auxiliado de enfoques psicológicos adecuados para estudiar la cognición del adulto como la psicología dialéctica, es suficientemente poderoso para ayudarnos a comprender mejor los fenómenos de enseñanza, aprendizaje y evaluación del álgebra en la escuela.
Enfoques surgidos en España y en Nuestra América, como el ontosemiótico y la socioepistemología, están contribuyendo a separarnos un poco de esa tendencia. Desde las perspectivas de estos enfoques se toman en cuenta otros aspectos, o variables, como los textos escolares, los programas de estudio oficiales, la organización escolar, la epistemología, la historia y otros a la hora de estudiar el aprendizaje de las matemáticas en la escuela. Sin embargo, pareciera que se sigue manteniendo el énfasis en el aprendizaje y se le presta poca atención a la enseñanza. Particularmente pienso que los estudiantes aprenden matemáticas en la escuela bajo la influencia de la enseñanza, tal vez sea mejor decir la instrucción, es decir bajo la influencia del profesor y otros factores escolares y extraescolares. Creo que la influencia del profesor es determinante en los aprendizajes que logran los estudiantes. No porque el conocimiento se pueda transferir directamente de la cabeza del profesor a las cabezas de los estudiantes, sino porque este determina las formas en que los estudiantes “ven” el estudio de las matemáticas. La asimilación consciente de las matemáticas de parte de los escolares es mediada por el profesor, quien la estimula o la limita. Desde esta perspectiva, alejada de una visión psicologista de la enseñanza, recobra valor la pedagogía.
La excesiva influencia de la psicología en la educación matemática ha hecho que los educadores matemáticos nos olvidemos de la pedagogía en general y de la pedagogía iberoamericana en particular. No es muy común ver trabajos de educadores matemáticos de Nuestra América basados en ideas de Freire, mientras que encontramos cientos de citas a los trabajos de Piaget, Dubinsky o cualquier otro personaje con nombre impronunciable. Como un primer paso para recuperar o realmente tomar en cuenta el pensamiento pedagógico he propuesto el uso del término PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS MATEMÁTICAS para referirnos a nuestra disciplina, o campo de producción de conocimientos si usted lo prefiere. De esta manera ponemos a la pedagogía por delante, al pensamiento pedagógico como guía. ¿Qué implicaciones tiene este enfoque en el caso de la didáctica del álgebra?
El enfoque pedagógico nos obliga a dotarnos de un referente teórico para comprender la enseñanza, el aprendizaje y la evaluación del álgebra en la escuela. No es este el momento para ahondar en este asunto. Por ahora me interesa enfatizar que este enfoque nos obliga a fijar nuestra atención en varios aspectos de la actividad pedagógica en la escuela y no quedarnos sólo con el aprendizaje que se espera que logren los estudiantes. Por ejemplo, en el aula el profesor también aprende. La tarea de enseñar no se puede separar del aprendizaje. El profesor estudia para preparar sus lecciones, toma en cuenta sus experiencias previas en la enseñanza de los diversos tópicos del álgebra escolar, sabe cuáles son las principales dificultades que encuentran sus estudiantes en el aprendizaje de esta rama de las matemáticas, domina el contenido tal como aparece en los textos escolares, ha resuelto una gran cantidad de problemas y ejercicios de álgebra para los diversos niveles en que enseña y ha enseñado, sabe cuáles son las expectativas oficiales plasmadas en los programas de estudio oficiales; en fin, el profesor de matemáticas aprende un montón de cosas al prepararse para enseñar aquello, como dice Simón Rodríguez, “que prometió enseñar”. Si tomamos en cuenta que el docente es un adulto que aprende, no podemos pretender estudiar el aprendizaje del profesor y el conocimiento que despliega en la enseñanza desde las perspectivas psicológicas desarrolladas para niños, niñas y adolescentes.
Apartarse del enfoque psicologista nos permite centrar nuestra atención en aspectos que a través de sus lentes no veíamos. Uno de ellos es el conocimiento que necesita desarrollar, apropiarse, el profesor de matemáticas para enseñar esta ciencia en la escuela. ¿Qué tiene que saber de álgebra un profesor para enseñar tópicos de esta disciplina en la escuela? Esa pregunta no puede responderse desde la perspectiva psicológica tradicional. Sólo el enfoque pedagógico, auxiliado de enfoques psicológicos adecuados para estudiar la cognición del adulto como la psicología dialéctica, es suficientemente poderoso para ayudarnos a comprender mejor los fenómenos de enseñanza, aprendizaje y evaluación del álgebra en la escuela.
lunes, 20 de agosto de 2007
¿Qué es el álgebra?
Toda discusión sobre la didáctica del álgebra pasa por definir qué es el álgebra. Responder esta pregunta es tan importante como responder la pregunta relacionada con lo fines de la enseñanza del álgeba para todos los ciudadanos en la escuela. Como motivación les presento a continuación algunas definiciones de álgebra elaboradas por matemáticos.
Las respuestas a la pregunta: ¿qué es el álgebra?, las podemos clasificar en dos grupos. En el primer grupo incluimos respuestas dadas por matemáticos. En el segundo grupo incluimos respuestas a esta pregunta ofrecidas por educadores matemáticos o especialistas en didáctica de las matemáticas. Entre los primeros podemos mencionar a Vieta (o Viete), Newton, de Morgan, el grupo Bourbaki, y Mac Lane y Birkhoff. Como señalé arriba, por ahora presentaré definiciones elaboradas por matemáticos.
Según Vieta (1591), considerado por muchos historiadores de las matemáticas como el fundador del álgebra,
El álgebra fue descubierta por los antiguos a partir de la Aritmética, y es la más noble, y de ninguna manera celebrada suficientemente técnica de los números. Como dice Cardano, como el Álgebra sobrepasa toda la sutileza humana y la claridad de cada alma mortal, ésta tiene que ser considerada como un verdadero regalo celestial, el cual da tal experiencia iluminadora del verdadero poder del intelecto que quienquiera que lo domine creerá que no hay nada que no pueda comprender. (...)
Hay una cierta manera de buscar la verdad en matemáticas del cual se dice que Plato fue el primero en descubrirlo. Theon lo llamó análisis, el cual el define como asumir que aquello que es buscado como si fuera admitido [y trabajar] a través de las consecuencias [asumidas] hasta lo que es [ya] admitido [y trabajar] a través de las consecuencias [asumidas] hasta llegar a y comprender aquello que se busca.
Aunque los antiguos proponían sólo [dos tipos] de análisis, zetetics y poristics, a los cuales mejor se aplica la definición de Theon, Yo he agregado un tercero, que podría llamarse rhetics o exegetics. Es propiamente zetetics por la cual uno establece una ecuación y proporción entre un término que debemos hallar y los términos dados, poristics por la cual la verdad de un teorema propuesto es evaluada por medio de una ecuación o proporción, y exegetics por la cual el valor de un término desconocido en una ecuación o proporción es determinado. Por tanto, todo el arte analítico, asumiendo estas tres funciones por si mismo, podría denominarse la ciencia del descubrimiento correcto en matemáticas.
Esta (Zetetics) no limita su razonamiento a números, una limitación del viejo analista, sino que trabaja con la recientemente descubierta logística simbólica la cual es más fructífera y poderosa que la logística numérica para comparar las magnitudes unas con otras.
La logística numérica es [una logística] que emplea números, la logística simbólica una que emplea símbolos o signos para cosas como, digamos, letras del alfabeto.
En análisis la palabra “ecuación”, por si misma, significa un igualdad construida propiamente de acuerdo con [las reglas] de la zetetics.
Así una ecuación es una comparación de una magnitud desconocida y una magnitud conocida.
Finalmente, el arte analítico, dotado de estas tres formas de zetetics, porsitics y exegetics, reclama para si mismo el más grande de todos los problemas, el cual es Resolver todo problema. [Traducción Julio Mosquera]
Para Newton (1628),
El cálculo es ejecutado con Números, como en la Aritmética Vulgar, o con Especies, como es usual entre los Algebristas. Ambos están construidos sobre los mismos Fundamentos, y buscan el mismo Objetivo, viz. la Aritmética definitiva y particularmente, el Álgebra indefinida y universalmente; de manera tal que todas las Expresiones que son halladas mediante estos Cálculos, y particularmente Conclusiones, pueden ser llamadas Teoremas. Pero el Álgebra es particularmente excelente en esto, mientras que las Preguntas Aritméticas son resueltas solamente procediendo desde las Cantidades dadas a las Cantidades buscadas, el Álgebra procede en Orden retrogrado, de las Cantidades buscadas, como si estuvieran dadas, a la Cantidades dadas, como si fueran buscadas, al final se llega a una Conclusión o Ecuación de una u otra manera, a partir de la cual podremos obtener la Cantidad buscada. [Traducción de Julio Mosquera]
Augusto de Morgan (1828) comenta que el álgebra
... es la parte de las matemáticas en la cual símbolos son empleados para abreviar y generalizar el razonamiento que surge en cuestiones relacionadas con los números.
Hay dos especies de preguntas, teoremas y problemas. Un teorema demuestra la existencia de ciertas propiedades de números dados y conocidos. Un problema tiene por su objeto determinar que números tienen relaciones dadas con otros números conocidos. [Traducción de Julio Mosquera]
Para Nicolas Bourbaki (1943), seudónimo usado por un colectivo de matemáticos franceses que sentaron las bases de la matemática moderna,
El álgebra se ocupa esencialmente del cálculo, esto es, ejecutar, sobre elementos de un conjunto, “operaciones algebraicas”, el ejemplo más conocido es proporcionado por las “cuatro reglas” de la aritmética elemental. El álgebra ... por largo tiempo ha sido considerada como el estudio de las operaciones algebraicas, independiente de las entidades matemáticas a las que ellas puedan aplicarse.
Privadas de cualquier carácter específico, la noción común subyacente a las operaciones algebraicas usuales es muy simple: realizar una operación algebraica en dos elementos a, b del mismo conjunto E, significa asociar al par ordenado (a, b)un tercer elemento c bien definido del conjunto E. En otras palabras, no hay más nada en esta noción que una función: tener una operación algebraica es tener un función definida sobre ExE y toma sus valores en E ...
En conformidad con las definiciones generales, tener sobre un conjunto E una o varias leyes de composición o leyes de acción definen una estructura sobre E; para las estructuras definidas de esta manera preservamos precisamente el nombre de estructuras algebraicas y es el estudio de éstas lo que constituye el álgebra. [Traducción de Julio Mosquera]
Un libro clásico de álgebra es el de Saunders Mac Lane y Garret Birkhoff (1967). Para estos matemáticos,
El álgebra comienza como el arte de manipular cantidades, productos y el poder de los números. Las reglas para esta manipulación sostenida por todos los números, de modo que la manipulación puede ser llevada a cabo con letras en representación de los números. Entonces parece que las mismas reglas contenidas para varios tipos de números diferentes … y que las reglas incluso se aplican a las cosas ... las cuales no son para nada números. Un sistema algebraico, como el que estudiaremos, es un conjunto de elementos de cualquier clase en los cuales las funciones tales como la suma y la multiplicación operan, siempre que dichas operaciones satisfagan ciertas reglas básicas. (p. 1).
Las respuestas a la pregunta: ¿qué es el álgebra?, las podemos clasificar en dos grupos. En el primer grupo incluimos respuestas dadas por matemáticos. En el segundo grupo incluimos respuestas a esta pregunta ofrecidas por educadores matemáticos o especialistas en didáctica de las matemáticas. Entre los primeros podemos mencionar a Vieta (o Viete), Newton, de Morgan, el grupo Bourbaki, y Mac Lane y Birkhoff. Como señalé arriba, por ahora presentaré definiciones elaboradas por matemáticos.
Según Vieta (1591), considerado por muchos historiadores de las matemáticas como el fundador del álgebra,
El álgebra fue descubierta por los antiguos a partir de la Aritmética, y es la más noble, y de ninguna manera celebrada suficientemente técnica de los números. Como dice Cardano, como el Álgebra sobrepasa toda la sutileza humana y la claridad de cada alma mortal, ésta tiene que ser considerada como un verdadero regalo celestial, el cual da tal experiencia iluminadora del verdadero poder del intelecto que quienquiera que lo domine creerá que no hay nada que no pueda comprender. (...)
Hay una cierta manera de buscar la verdad en matemáticas del cual se dice que Plato fue el primero en descubrirlo. Theon lo llamó análisis, el cual el define como asumir que aquello que es buscado como si fuera admitido [y trabajar] a través de las consecuencias [asumidas] hasta lo que es [ya] admitido [y trabajar] a través de las consecuencias [asumidas] hasta llegar a y comprender aquello que se busca.
Aunque los antiguos proponían sólo [dos tipos] de análisis, zetetics y poristics, a los cuales mejor se aplica la definición de Theon, Yo he agregado un tercero, que podría llamarse rhetics o exegetics. Es propiamente zetetics por la cual uno establece una ecuación y proporción entre un término que debemos hallar y los términos dados, poristics por la cual la verdad de un teorema propuesto es evaluada por medio de una ecuación o proporción, y exegetics por la cual el valor de un término desconocido en una ecuación o proporción es determinado. Por tanto, todo el arte analítico, asumiendo estas tres funciones por si mismo, podría denominarse la ciencia del descubrimiento correcto en matemáticas.
Esta (Zetetics) no limita su razonamiento a números, una limitación del viejo analista, sino que trabaja con la recientemente descubierta logística simbólica la cual es más fructífera y poderosa que la logística numérica para comparar las magnitudes unas con otras.
La logística numérica es [una logística] que emplea números, la logística simbólica una que emplea símbolos o signos para cosas como, digamos, letras del alfabeto.
En análisis la palabra “ecuación”, por si misma, significa un igualdad construida propiamente de acuerdo con [las reglas] de la zetetics.
Así una ecuación es una comparación de una magnitud desconocida y una magnitud conocida.
Finalmente, el arte analítico, dotado de estas tres formas de zetetics, porsitics y exegetics, reclama para si mismo el más grande de todos los problemas, el cual es Resolver todo problema. [Traducción Julio Mosquera]
Para Newton (1628),
El cálculo es ejecutado con Números, como en la Aritmética Vulgar, o con Especies, como es usual entre los Algebristas. Ambos están construidos sobre los mismos Fundamentos, y buscan el mismo Objetivo, viz. la Aritmética definitiva y particularmente, el Álgebra indefinida y universalmente; de manera tal que todas las Expresiones que son halladas mediante estos Cálculos, y particularmente Conclusiones, pueden ser llamadas Teoremas. Pero el Álgebra es particularmente excelente en esto, mientras que las Preguntas Aritméticas son resueltas solamente procediendo desde las Cantidades dadas a las Cantidades buscadas, el Álgebra procede en Orden retrogrado, de las Cantidades buscadas, como si estuvieran dadas, a la Cantidades dadas, como si fueran buscadas, al final se llega a una Conclusión o Ecuación de una u otra manera, a partir de la cual podremos obtener la Cantidad buscada. [Traducción de Julio Mosquera]
Augusto de Morgan (1828) comenta que el álgebra
... es la parte de las matemáticas en la cual símbolos son empleados para abreviar y generalizar el razonamiento que surge en cuestiones relacionadas con los números.
Hay dos especies de preguntas, teoremas y problemas. Un teorema demuestra la existencia de ciertas propiedades de números dados y conocidos. Un problema tiene por su objeto determinar que números tienen relaciones dadas con otros números conocidos. [Traducción de Julio Mosquera]
Para Nicolas Bourbaki (1943), seudónimo usado por un colectivo de matemáticos franceses que sentaron las bases de la matemática moderna,
El álgebra se ocupa esencialmente del cálculo, esto es, ejecutar, sobre elementos de un conjunto, “operaciones algebraicas”, el ejemplo más conocido es proporcionado por las “cuatro reglas” de la aritmética elemental. El álgebra ... por largo tiempo ha sido considerada como el estudio de las operaciones algebraicas, independiente de las entidades matemáticas a las que ellas puedan aplicarse.
Privadas de cualquier carácter específico, la noción común subyacente a las operaciones algebraicas usuales es muy simple: realizar una operación algebraica en dos elementos a, b del mismo conjunto E, significa asociar al par ordenado (a, b)un tercer elemento c bien definido del conjunto E. En otras palabras, no hay más nada en esta noción que una función: tener una operación algebraica es tener un función definida sobre ExE y toma sus valores en E ...
En conformidad con las definiciones generales, tener sobre un conjunto E una o varias leyes de composición o leyes de acción definen una estructura sobre E; para las estructuras definidas de esta manera preservamos precisamente el nombre de estructuras algebraicas y es el estudio de éstas lo que constituye el álgebra. [Traducción de Julio Mosquera]
Un libro clásico de álgebra es el de Saunders Mac Lane y Garret Birkhoff (1967). Para estos matemáticos,
El álgebra comienza como el arte de manipular cantidades, productos y el poder de los números. Las reglas para esta manipulación sostenida por todos los números, de modo que la manipulación puede ser llevada a cabo con letras en representación de los números. Entonces parece que las mismas reglas contenidas para varios tipos de números diferentes … y que las reglas incluso se aplican a las cosas ... las cuales no son para nada números. Un sistema algebraico, como el que estudiaremos, es un conjunto de elementos de cualquier clase en los cuales las funciones tales como la suma y la multiplicación operan, siempre que dichas operaciones satisfagan ciertas reglas básicas. (p. 1).
lunes, 6 de agosto de 2007
Hola a todos
Soy Ana beatriz Ramos Profesora de la Universidad de Carabobo. Valencia, Venezuela. Trabajo en el ciclo b'asico de la Facultad de Ciencias ec'onomicas y Sociales. La asignatura es un prec'alculo con una unidad de l'ogica y teoria de conjuntos. En el 'area de la investigaci'on he realizado algunos temas dentro de la teoria del enfoque ontosemiotico de la cognici'on matem'atica.
Disculpen las tildes pero el teclado es en ingl'es
Disculpen las tildes pero el teclado es en ingl'es
viernes, 3 de agosto de 2007
Álgebra o Artimética vs. Aritmética y Álgebra
Durante la reunión del Grupo de Discusión de Didáctica del Álgebra, que se realizó en Maracaibo el pasado mes de junio, plantee el asunto de la relación entre la enseñanza de la aritmética y el álgebra en la escuela. Tradicionalmente se ha planteado el problema de la transición de la aritmética al álgebra, en particular entre investigadores del mundo anglosajón. Dentro de esta perspectiva hay autores que plantean que la aritmética se puede convertir en un obstáculo para el aprendizaje del álgebra. Para otros autores, como Chevallard, realmente no enseñamos álgebra en la escuela, más bien enseñamos aritmética simbólica. También en el mundo anglosajón, en particular en Estados Unidos, ha surgido un enfoque que propone la enseñanza del álgebra desde los primeros grados en paralelo con la aritmética. Algunos autores han recurrido al término “algebrafying” para referirse a este enfoque. Todavía otro enfoque surgió en la extinta Unión Soviética, donde se propuso eliminar la enseñanza de la aritmética del todo. El razonamiento se basaba en que si la ésta era un obstáculo para el desarrollo del pensamiento algebraico y que los estudiantes tendrían que des-aprenderla en secundaria, entonces que objetivo tendría enseñarla. Davidov y otros fueron los proponentes de este enfoque.
En nuestra discusión, el colega de Portugal Joao Pedro da Ponte señaló que deberíamos plantearnos cuál era el fin de la enseñanza del álgebra en la escuela, y que si nuestros estudiantes aprendían por lo menos algo de aritmética por qué eliminarla. Más bien podría surgir un cuestionamiento a la enseñanza del álgebra misma, si la mayoría de nuestros estudiantes tiene problema en aprenderla por qué insistir en enseñársela.
Cualquiera que sea nuestra posición pasa por responder la pregunta propuesta por da Ponte: ¿Cuál es el fin de la enseñanza del álgebra en la escuela?
En nuestra discusión, el colega de Portugal Joao Pedro da Ponte señaló que deberíamos plantearnos cuál era el fin de la enseñanza del álgebra en la escuela, y que si nuestros estudiantes aprendían por lo menos algo de aritmética por qué eliminarla. Más bien podría surgir un cuestionamiento a la enseñanza del álgebra misma, si la mayoría de nuestros estudiantes tiene problema en aprenderla por qué insistir en enseñársela.
Cualquiera que sea nuestra posición pasa por responder la pregunta propuesta por da Ponte: ¿Cuál es el fin de la enseñanza del álgebra en la escuela?
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