Investigación sobre aprendizaje y enseñanza de la trigonometría

En Venezuela no tenemos actualmente un curso separado de trigonometría en la Educación Secundaria, tuvimos uno antes de la reforma curricular de los años de 1950. Dada esa realidad de nuestra educación, incluimos el estudio de la enseñanza, aprendizaje y evaluación de temas de trigonometría en la didáctica del álgebra. A continuación presento un recuento de algunas investigaciones cuyo centro de interés es el aprendizaje o la enseñanza de tópicos de trigonometría.

Se han realizado muy pocas investigaciones sobre el aprendizaje y la enseñanza de la Trigonometría en la escuela. Una evidencia de esta escasez es que la Trigonometría no aparece mencionada en el Handbook of Research on the Teaching and Learning of Mathematics editado por Grouws (1992, citado en de Kee, Moura y Dionne, s.f.). En esta sección haremos referencia a algunos de los pocos trabajos que pudimos localizar en nuestra investigación bibliográfica sobre el tema. (de Kee y otros, s.f., Doerr, 1996, Shama, 1998, Delice y Monaghan, 2003, Orhun, 200 y Balckett y Tall, 1991). Estos trabajos pueden ser catalogados en cinco categorías: (1) estudio de la comprensión de conceptos trigonométricos (de Kee y otros, s.f. y Shama, 1998), (2) estudio de las concepciones erróneas y errores (Orhun, 2000), (3) estudio de la integración de la trigonometría con otros tópicos (Doerr, 1996), (4) estudio del efecto del uso de computadoras en el aprendizaje de la trigonometría (Blackett y Tall, 1991) y (5) estudio comparativo de la enseñanza de la trigonometría (Delice y Monaghan, 2003).

De Kee y otros (s.f) estudiaron la comprensión de las nociones de las funciones seno y coseno en estudiantes de secundaria. Estos autores aclaran que se ocupan de la comprensión en un momento determinado y no en su desarrollo. Basándose en un modelo constructivista propuesto por Herscovics y Bergeron (1982), de Kee y otros (s.f.) distinguen cinco tipos de componentes de la comprensión (1) inicial, (2) procedimental (3) abstracción, (4) formalización y (5) global.

Los autores diseñaron un conjunto de tareas las cuales le propusieron a los cinco estudiantes participantes durante una serie de entrevistas. Todos los estudiantes pertenecían a la misma sección. Tomando en cuenta el modelo de Herscovics y Bergeron (1982), de Kee y otros (s.f) elaboraron una serie de criterios para indagar acerca de la comprensión del seno y del coseno por parte de los alumnos. Por ejemplo, relacionado con el componente abstracción propusieron un texto a los alumnos sobre la invarianza de las razones trigonométricas respecto al triángulo, es decir, las razones trigonométricas no varían si las dimensiones del triángulo se reducen o se aumentan en longitud.

La comprensión de la noción de seno y coseno en los estudiantes de secundaria fue estudiada por de Kee y otros (s.f) en dos contextos clásicos. El primero de estos contextos fue el del triángulo rectángulo, mientras que el segundo fue el contexto de la circunferencia trigonométrica. En ambos contextos se indagó sobre la comprensión según los cinco componentes del modelo de Herscovics y Bergeron (1982). El seno y coseno son vistos como razones de lados de un triángulo rectángulo con hipotenusa En el primer contexto, el triángulo rectángulo, se encontró que algunos estudiantes tienen problema en comprender el seno y el coseno como razones sin unidad; no pueden calcular el seno o el coseno a partir de un ángulo, emplean correctamente la notación trigonométrica; reproducen correctamente la definición formal de seno y de coseno, y las aplican correctamente al caso de un ángulo agudo en un triángulo dado; y en un principio los alumnos sólo veían al seno y al coseno como fracciones, es decir, no se consideraban expresar las fracciones resultantes como números con decimales (por ejemplo, tomar 3 como 0,6).

En el contexto de la circunferencia trigonométrica, el seno y coseno son presentados como funciones reales de variable real. Esta manera de ver las funciones trigonométricas es estudiada en la lección 4. Al igual que en el contexto anterior, de Kee y otros (s.f) le pidieron a los estudiantes que dijeran cómo le explicarían a un compañero lo qué es una función trigonométrica. Se les propuso a los estudiantes que harían a partir de una tabla con valores del seno para ciento ochenta ángulos medidos en grados. Para algunos estudiantes cada par de valores en la tabla representaba una función, para otros de los estudiantes la tabla completa representaba una función trigonométrica. Otros alumnos hicieron referencia al triángulo y otros a las gráficas. Ninguno de los estudiantes hizo referencia a las funciones circulares. Una vez que los investigadores les mencionaron estas funciones y les pidieron que hablaran sobre ellas, sólo una alumna se dio cuenta que éstas y las funciones trigonométricas están relacionadas.

Todos los estudiantes mostraron tener dificultades en comprender que una tabla representa a una función, en general tenían problemas con el concepto de función. Los estudiantes también mostraron tener dificultades para hallar el valor del seno de un número real usando una cuerda y una circunferencia trigonométrica.

De Kee y otros (s.f.) encontraron cuatro representaciones del seno y del coseno entre los estudiantes de secundaria. La primera tiene que ver con las razones, la segunda con las coordenadas cartesianas, la tercera con los valores que se obtienen en una calculadora y, por último las curvas con aspecto ondulado. El desempeño de los estudiantes en todas las tareas fue mejor en el primer contexto que en el segundo. Los estudiantes mostraron no haber establecido relaciones entre las diferentes representaciones del seno y del coseno antes enumeradas. Si desea mejorar la comprensión es necesario promover y fortalecer las relaciones entre esas representaciones. Por último, de Kee y otros (s.f) resaltan que los estudiantes en general tenían dificultad para expresarse. Por tanto, proponen que se den más a menudo oportunidades para la discusión de temas de matemáticas en el aula.

Shama (1998) estudió la comprensión de la periodicidad con un proceso que tiene una estructura Gestalt. Este trabajo de investigaciones fue realizado con estudiantes israelíes de 3er grado hasta el grado 12. Este es un estudio que se llevó a cabo en dos fases, la primera de tipo cualitativo en la que se observaron clases y se realizaron entrevistas con los estudiantes. La segunda de tipo cuantitativo consistió de una encuesta aplicada a 895 estudiantes de grado 11.

La periodicidad aparece en la naturaleza, por todos lados. Por ejemplo, la fases de la luna y las estaciones. También encontramos patrones periódicos en algunas manifestaciones culturales. La periodicidad es un concepto científico. Las funciones periódicas son usadas para modelar un sin número de fenómenos en biología, química,, física y en la tecnología. Este concepto cobra aún más relevancia si lo vemos como necesario para comprender la conducta de sistemas caóticos y sistemas no lineales. Los patrones periódicos juegan un papel de relevancia en las matemáticas. Podemos concluir que es un concepto muy general y de mucha relevancia (Shama, 1998, p.255).

Señala Shama (1999) que a pesar de la relevancia de este tema, hasta ese momento no se había investigado sobre la comprensión de la periodicidad. Shama decidió entonces centrar su investigación en este concepto. Para ello adoptó como marco conceptual las ideas de concepto imagen y concepto definición propuesta por Vinner (1991, citado por Shama, 1998, p 256).

Shama (1998) organiza la presentación de los resultados de su investigación en tres grandes categorías. Estas categorías son la comprensión de la periodicidad como un proceso, la identificación del período. Tanto los resultados de la entrevista como los de la encuesta llevan a la conclusión que la mayoría de los estudiantes concibe la periodicidad como un proceso. Este puede decir que el concepto imagen de la periodicidad se basa en ejemplos dinámicos. Esto se debe tanto a la enseñanza como a la experiencia diaria.

En las entrevistas se encontró con frecuencia el error de considerar fenómenos no-periódicos como si fueran periódicos. Tomando en consideración los resultados de la entrevista se diseñaron diferentes tipos de preguntas para evaluar aún más esa relación. Muchos de los estudiantes mostraron una comprensión incompleta de la periodicidad.

Los resultados acerca de la identificación del periódico fueron organizados en cuatro grupos. El primer grupo fue identificado como la longitud del período. Shama (1998) observa que una función con período de longitud r, también tiene período de longitud nr, para, cualquier número natural n. Un período de longitud mínima. Los estudiantes prefirieron identificar un período fundamental como el período. Una conducta similar se encontró en los profesores. El segundo grupo fue identificado como las características de los puntos extremos del período. La mayoría de los estudiantes prefirieron identificar puntos de discontinuidad, puntos extremos o puntos cero (de la forma (x, o) ó (o, y) como los puntos extremos de un período. El tercer grupo tiene que ver con la localización del período. En los resultados anteriores vimos que los estudiantes tienen preferencia por el período fundamental y ciertas características de los extremos del período. En esta parte de la investigación Shama (1998) explora si los estudiantes tienen una preferencia particular por la localización del período. En efecto, los estudiantes suelen escoger como período aquel que comienza en el extremo izquierdo de la representación gráfica de una función periódica. Por ejemplo, en el curso de un decimal periódico escoger como extremo inicial del período el primer dígito a la derecha de la coma, les cuesta identificar como extremo inicial del período a un dígito que esté “alejado” de la coma. En otras palabras, los estudiantes tienden a localizar el período al comienzo de la representación gráfica en el extremos izquierdo. Por último, encontramos los resultados sobre los extremos del período. Algunos estudiantes piensan que los extremos de un período tienen que ser iguales, para algunos incluso si un período termina y comienza en extremos diferentes no es un período.

Shama (1998) concluye su artículo con una discusión sobre los resultados más resaltantes de su investigación. Uno de estos resultados es el que tiene que ver con la comprensión de la periodización como proceso. En particular, los estudiantes tienden a confundir el proceso con sus productos, entonces transfieren las propiedades del primero a los segundos. Entendida la periodicidad como proceso, se concibe entonces como fenómeno dependiente del tiempo. Por tanto, como un proceso que tiene un punto de inicio. Además, se tiende a asociar una dirección de ocurrencia al período como proceso es la frente de muchos de los errores que cometen los estudiantes. El otro resultado relevante discutido por Shama (1998) tiene que ver con la teoría de la Gestalt escapa del objetivo de la lección contar con más detalles sobre este asunto en particular. Para concluir, nos interesa resaltar que Shama (1998) llama la atención sobre la necesidad de investigar acerca de la influencia que tiene la enseñanza sobre estas maneras en que los estudiantes comprenden la periodicidad.

Pasamos ahora a considerar la investigación de Orhun (2000) sobre errores y concepciones erróneas en la enseñanza de la trigonometría. Para Orhun (2000) la trigonometría es la unidad donde se juntan tópicos de aritmética, realidades geométricas y relaciones trigonométricas. En la educación secundaria, la enseñanza de la trigonometría se limita, en buena medida, a la obtención de razones para un ángulo en particular. En la lección 9 estudiaremos este asunto para el caso de la enseñanza de la trigonometría en Venezuela. En parte, este énfasis en asuntos tan particulares es responsabilidad de los docentes quienes muchas veces no le proveen a los estudiantes de oportunidades de aprendizaje que lleven al aprendizaje de conceptos fundamentales en trigonometría.

En la enseñanza de la trigonometría en la escuela se debería considerar tanto las necesidades futuras de los estudiantes como resultados de algunas investigaciones en educación matemática. En cuanto al primer punto tenemos que experimentar por parte de los estudiantes con la parte analítica de la trigonometría es necesaria para el estudio del cálculo en la universidad. Sobre el segundo asunto tenemos que el uso de diferentes sistemas de representación (tablas numéricas, ecuaciones, gráficos) y la traducción entre ellos ayuda a la mejor comprensión de la conceptos matemáticos.

En la investigación realizada por Orhun participaron 77 estudiantes de décimo grado en Turquía. El estudio, tipo survey, se llevo a cabo mediante la aplicación de un instrumento con 15 preguntas. En el artículo comentado aquí, Orhun (2000) sólo presenta los resultados obtenidos en cuatro de esas preguntas. Dos de estas preguntas tienen que ver con la relación entre la medida de un ángulo con vértice en el centro de la circunferencia trigonométrica. Las otras dos preguntas tienen que ver con la función seno. El desempeño de los estudiantes en esta cuatro preguntas es bastante bajo. En las respuestas a las dos primeras preguntas los estudiantes mostraron dificultad en la conversación entre medidas de ángulos en grados a radianes. En cuanto a las otras dos preguntas, éstas tenían que ver con el concepto de dominio de una función y con percibir un número real como un ángulo en una función trigonométrica.

Orhun (2000) concluye que los estudiantes no desarrollan conceptos claros de trigonometría, algunos de ellos usan la notación algebraica de manera informal, la mayoría no comprende el concepto de trigonometría numérica, y la trigonometría es comprendida como relaciones entre los ángulos y los lados de un triángulo rectángulo. Orhun le atribuye todos estos errores y concepciones erróneas en los estudiantes al método de enseñanza que predomina en las escuelas. Para superar estos problemas, Orhun recomienda enseñar primero las funciones trigonométricas como funciones reales y antes de entrar a tratar problemas con ángulos, el uso de los gráficos de las funciones trigonométricas, y determinar las posibles concepciones erróneas y elaborar métodos para eliminarlas. Muchos de los problemas que encontramos en el aprendizaje de la trigonometría se resolverían con una enseñanza que tome en cuenta estas observaciones.

Algunos investigadores se han ocupado de estudiar la relación entre la trigonometría y otras materias escolares. Por ejemplo, Doerr (1996) estudió la integración entre la trigonometría, los vectores y la fuerza en un contexto de enseñanza centrado en el modelaje matemático. Doerr (1996) reporta en este trabajo la parte cualitativa de su investigación. En esta parte los datos fueron recogidos de diversas fuentes, tales como grabaciones en video de las clases y los cuadernos de apuntes de los estudiantes. En este estudio participaron 17 estudiantes, desde noveno hasta el doceavo grado, que aceptaron tomar un curso integrado de álgebra, trigonometría y física.

Doerr (1996) nos recuerda que hay que distinguir en la enseñanza del modelaje entre el enfoque exploración de un modelo y el enfoque construcción de un modelo. En el primer caso los estudiantes exploran con un modelo las posibilidades tales como fueron ya estudiadas por un experto. Entonces, desde este enfoque se le permita al estudiante comprender la manera de pensar de un experto sobre el problema particular propuesto al estudiante. En el segundo enfoque se le provee a los estudiantes de oportunidades para expresar sus propios conceptos, definir relaciones y explorar las consecuencias de esas relaciones. En este enfoque se busca que los estudiantes investiguen sus propias maneras de pensar sobre el problema propuesto. Según Doerr (1996) este enfoque es el más útil, la construcción de modelos lleva a los estudiantes a que hagan explícitas sus propias concepciones sobre las relaciones entre las variables y examinar las consecuencias de las mismas. Dentro de este enfoque se incluye el uso de herramientas computarizadas que faciliten la construcción de modelos. Sin embargo, escogieron un enfoque que combina ambas aproximaciones.

En las clases que tomaban los estudiantes se les presentaba un evento físico y se les pedía que hicieran explícitas sus propias representaciones, elegir las variables y formular las relaciones entre ellas. Estas clases formaban parte de una unidad curricular la cual fue diseñada de manera tal que integre tres componentes. 1) la recolección de datos en un experimento físico, 2) desarrollar y explorar una simulación por computadora y 3) analizar matemáticamente los datos (simbólico, gráfico, tabulador y geométrico).

Uno de los resultados más interesantes reportados por Doerr (1996) es que los estudiantes enfocaron desde cuatro puntos de vista diferentes las soluciones a los problemas planteados. Esto se debió en parte a que el ambiente de simulación por computadora proveyó a los estudiantes de herramientas flexibles que les permitían explorar la situación y contribuir una representación que tuviera sentido para ellos. Otro resultado reportado por Doerr (1996) es el de la creciente complejidad en los modelos desarrollados por los estudiantes. A medida que los estudiantes progresaban a lo largo de las clases, incorporaban varios componentes del modelo, los integraban con componentes previos y los extendían para responder a situaciones más complejas. Se produjo un refinamiento de las conjeturas elaboradas por los estudiantes. A pesar de esto, los estudiantes solían basarse más en las ecuaciones y la geometría para desarrollar sus soluciones a expensas del uso de la simulación por computadora.

Doerr (1996) organiza las implicaciones de su estudio en dos grupos. En el primer grupo incluye implicaciones para la enseñanza. Se concluye que este enfoque integrado en la enseñanza de la trigonometría fomenta la diversidad de razonamientos, la creatividad y el enriquecimiento de las respuestas mucho más allá de lo que se logra en el aula normal de matemáticas. Sin embargo, todo lo anterior no se logra fácilmente; como veremos más adelante, este enfoque introduce al profesor en lo que Skovsmose (2001) llama una zona de riesgo (ver la lección 5). Se requiere mejorar las actividades de manera tal que permitan llevarlas a un cierre. En el segundo grupo, Doerr (1998) incluye las implicaciones para el curriculum. Primero tenemos que un enfoque como el propuesto requiere un curriculum que permita la exploración de un problema durante un prolongado período de tiempo, muy distinto de lo que se hace dentro de un currículum tradicional. Para que nos demos una idea de este asunto, tenemos que el contenido cubierto durante los 35 días que duró el experimento, normalmente se cubre en 10 ó 12 días en un ambiente tradicional. El segundo punto tiene que ver con el contenido incluido en el curriculum. Desde la perspectiva propuesta por Doerr (1996) el modelaje no es sólo una actividad agregada al curriculum.

Entonces, el curriculum se basaría en nociones centrales de las matemáticas, las actividades de indagación de los estudiantes estarían guiadas por una pregunta esencial a partir de la cual se generaron nuevos problemas. Este entorno promocionó la investigación y mantuvo el interés de los estudiantes durante todas las clases. Para concluir, Doerr (1996) resalta que implementar este enfoque en el aula no es sencillo. Se requiere de una interpretación entre el trabajo en pequeños grupos y la discusión con toda la clase.

Blackett y Tall (1991) realizaron un estudio sobre el uso de computadoras en la enseñanza de la trigonometría y el género. Este estudio es del tipo experimental y un grupo control. Blackett y Tall (1991) señalan que en Inglaterra, la evidencia empírica muestra que aunque las hembras se desempeñan tan bien como los varones en matemáticas en los primeros años, a medida que avanzamos en los años de escolaridad comienzan a aparecer diferencias a favor de los varones, en particular en los grupos de mayor habilidad. También se sabe que las hembras resultan menos aventajadas que los varones en pruebas visuales-espaciales. Otro resultado mencionado por Blackett y Tall (1991), observado en experimentaciones anteriores, es que las hembras tienden más a la cooperación mientras que los varones tienden más a la competencia. Por lo tanto, se plantearon como hipótesis de su investigación si cierto software diseñado para relacionar conceptos espaciales y datos numéricos y simbólicos es usado en la enseñanza de la trigonometría entonces las hembras mejorarían en la percepción de esas relaciones.

El experimento fue realizado en dos escuelas en Inglaterra, una de las escuelas fue tomada como grupo control y la otra escuela fue considerada como grupo experimental. Un pre-test administrado a todos los estudiantes confirmó que había diferencias significativas entre ambos grupos. Luego le fueron administrados dos post-test, uno se aplicó inmediatamente al finalizar el tratamiento y el otro ocho semanas más tarde.

Blackett y Tall (1991) reconocen que la enseñanza inicial de la trigonometría está llena de dificultades. Al principio, se le pide al estudiante que establezca relaciones entre dibujos de triángulos y relaciones numéricos, trabajar con razones y manipular símbolos involucrados en tales relaciones. Aquí enfrentamos varios problemas. Primero, el uso de bosquejos de triángulos comunicaría la idea que sólo se pueden obtener resultados precisos usando procedimientos numéricos y si se usan dibujos estáticos en lugar de prestar atención a las relaciones cambiantes dinámicamente. Segundo, otras dificultades aparecen cuando el estudiante tiene que conceptualizar que pasa cuando un triángulo rectángulo cambia de dimensiones en dos maneras esencialmente diferentes: (1) en la medida que un ángulo agudo aumenta y la hipotenusa se mantiene fija, el lado opuesto aumenta y el lado adyacente decrece, (2) los ángulos permanecen constantes, el alargamiento de la hipotenusa por un factor dado cambia los otros dos lados por el mismo factor (Blackett y Tall, 1991). Una manera de superar estas dificultades es mediante la introducción de un software que permita la manipulación dinámica de objetos matemáticos.

Blackett y Tall (1991) reportan que su experimento confirmó la hipótesis que el grupo experimental, el cual uso el software, mejoró su desempeño respecto a los estudiantes en el grupo control. En especial, las hembras en el grupo experimental mostraron una mayor ganancia en ese mejoramiento que los varones, excepto en el caso del grupo de los menos capaces. Además, concluyen que el uso del software ayuda a los estudiantes a establecer relaciones entre las habilidades visual y numérica.

Por último tenemos el estudio de Delice y Monaghan (2003) sobre las herramientas usadas en la enseñanza de la trigonometría en Inglaterra y el Turquía respectivamente. Este estudio se centra en dos asuntos. (1) el desempeño de los estudiantes al hallar longitud y ángulos desconocidos a partir de diagramas, simplificación de expresiones y resolución de problemas; y (2) los contextos de aprendizaje: el curriculum, la evaluación, las prácticas en el aula y la actitud de los profesores. Este estudio es el tipo estudio de casos múltiple exploratorio. Los datos fueron recogidos mediante un test, entrevistas con los estudiantes y profesores, y observaciones de clases. En este estudio participaron 60 estudiantes de 17-18 años de edad de ambos países. Para evaluar el desempeño de los estudiantes se usó un instrumento con 16 preguntas. Sobre álgebra (la mayoría de simplificación), 16 preguntas de simplificación trigonométrica y 6 problemas del “mundo real”.

Veamos ahora los resultados obtenidos en cada una de las partes del instrumento aplicado a los estudiantes. Los estudiantes turcos tuvieron un mejor desempeño que los estudiantes ingleses en la primera parte del instrumento. En particular, Delice y Monaghan (2003) resaltan que los estudiantes ingleses experimentaron dificultad en especial con fracciones algebraicas, cancelando con frecuencia equivocadamente. Todos los estudiantes tuvieron dificultad para responder la segunda parte del instrumento, pero los estudiantes turcos tuvieron un mejor desempeño que los estudiantes de Inglaterra. Algunos estudiantes manifestaron en la entrevista que traducían la expresión trigonométrica, operaban con la nueva expresión y luego la convertían otra vez a trigonométrica. Este método no resultó muy útil en particular cuando se cometían errores en la manipulación algebraica. Los estudiantes ingleses obtuvieron mejores resultados que los estudiantes turcos en la tercera parte del instrumento. En particular, los estudiantes turcos tienen problemas con representaciones tridimensionales y con figuras donde aparecen más de un triángulo rectángulo.

En lo que respecta al uso de instrumentos Delice y Monaghan (2003) reportan diferencias entre ambos países. En Inglaterra es común el uso de calculadoras y de hojas con fórmulas en las clases de trigonometría. Mientras que en Turquía se usan, aunque de manera marginal, las tablas trigonométricas. El uso de las tablas aparece como un objetivo en los programas de matemáticas en ese último país. Volveremos sobre este tema más adelante en la lección 9. Las herramientas seleccionadas y la manera en que son usadas depende de la enseñanza de la trigonometría en el aula, pero éstas no se encuentran relacionadas linealmente. Más bien existe una relación dialéctica entre uso de herramientas y enseñanza. Por ejemplo, en Inglaterra los estudiantes realizan problemas con ángulos de cualquier magnitud, mientras que en Turquía se trabaja casi exclusivamente con ángulos múltiplos de 15°. Lo anterior se debe al uso de calculadoras. Aún más, en Inglaterra se enfatiza las funciones seno, coseno y tangente las cuales aparecen como teclas en las calculadores. Como vemos, a diferencia de Orhun (2000), Delice y Monaghan (2003) no asumen una simple relación de causalidad entre la manera en que los profesores enseñan trigonometría y aquello que los estudiantes aprenden.

Delice y Monaghan (2003) concluyen que la trigonometría en Inglaterra y en Turquía están relacionadas pero resultan ser diferentes trigonometrías. En ambos países las actividades que se realizan en el aula son diferentes”, hay diferencias considerables en las herramientas y técnicas usadas; las acciones matemáticas relacionadas al uso de las herramientas difieren; y las reglas de comportamiento relacionadas con las actividades y uso de herramientas son distintas.

Hasta aquí pasamos revista a un conjunto de investigaciones sobre diferentes aspectos de la enseñanza y aprendizaje de la trigonometría en la escuela. Cada uno de estos trabajos se enfoca en problemas particulares de la enseñanza y el aprendizaje de la trigonometría, usan diferentes metodologías, etc. Casi todos ellos coinciden en que se han realizado muy pocas investigaciones; en este campo a pesar de la importancia de este contenido en la escuela y de las numerosas dificultades que muestran los estudiantes en su aprendizaje.